2021-乙卷理-11 单-椭圆最值

本题导读

本题考查椭圆的方程与性质，以及圆锥曲线中的最值问题。

📌【题干】

Question

（2021年乙卷理）设 $B$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|PB|⩽2b$，则 $C$ 的离心率的取值范围是 $($　　$)$

A. $[\frac{\sqrt{2}}{2},1)$　　　B. $[\frac{1}{2},1)$　　　C. $(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$　　　D. $(0,\frac{1}{2}]$

🔍【思路分析】

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本题考查椭圆的性质及点到点的距离的最值问题。

核心转化：点 $B(0,b)$ 是上顶点，椭圆下顶点为 $(0,-b)$，显然下顶点到 $B$ 的距离刚好为 $2b$。题干要求“椭圆上任意一点到 $B$ 的距离都不超过 $2b$”，这意味着椭圆上到点 $B$ 距离最大的点就是下顶点。

解决该问题有两条常用路径：

1. 几何代数法（判别式）：点 $P$ 满足 $|PB|⩽2b$，说明椭圆必须完全包含在以 $B$ 为圆心、$2b$ 为半径的圆内（或相切）。将圆的方程与椭圆方程联立，考察交点情况。

2. 函数求导/配方法（通法，推荐）：设出点 $P(x,y)$ 的坐标，利用椭圆方程消去 $x^2$，将距离的平方 $|PB{|}^2$ 转化为关于纵坐标 $y$ 的一元二次函数（注意定义域 $y\in [-b,b]$）。根据二次函数的对称轴和开口方向，分析其在区间上的单调性与最值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：几何方程与判别式法（极限思想）

点 $B$ 的坐标为 $(0,b)$，因为 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|PB|⩽2b$，

所以以 $B$ 为圆心、$2b$ 为半径的圆 $x^2+(y-b{)}^2=4b^2$ 必须包含整个椭圆。

它们的边界交点（极值情况）联立方程组为：

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ x^2+(y-b{)}^2=4b^2\end{array}$

由椭圆方程得 $x^2=a^2(1-\frac{y^2}{b^2})$，代入圆的方程消去 $x^2$：

$a^2(1-\frac{y^2}{b^2})+y^2-2by+b^2=4b^2$

整理为关于 $y$ 的一元二次方程：

$\frac{b^2-a^2}{b^2}{y}^2-2by+a^2-3b^2=0$

实际上，当 $y=-b$（下顶点）时，该方程必定成立。为了使得椭圆不超出圆的范围，该方程在 $(-b,b)$ 内不能有解，极限情况下判别式 $\Delta ⩽0$（或者将其理解为重根切点条件）：

$\Delta =(-2b{)}^2-4\cdot \frac{b^2-a^2}{b^2}\cdot (a^2-3b^2)⩽0$

整理得：

$4b^2-\frac{4}{b^2}(-a^4+4a^2{b}^2-3b^4)⩽0$

$4b^4+4a^4-16a^2{b}^2+12b^4⩽0$

提公因式并化简：

$4a^4-16a^2{b}^2+16b^4⩽0$

即 $4(a^2-2b^2{)}^2⩽0$

因为平方非负，所以只能是 $a^2-2b^2=0$，即 $a^2=2b^2$。这是极值情况，此时 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

结合选项，本题求的是范围，故 $e$ 的范围为 $(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$。故选 C。

解法二：二次函数最值法（王亮老师补解，严谨通法）

设椭圆上任意一点 $P(x,y)$，其中 $y\in [-b,b]$。

根据距离公式，点 $P$ 到 $B(0,b)$ 的距离的平方为：

$|PB{|}^2=x^2+(y-b{)}^2$

因为点 $P$ 在椭圆上，有 $x^2=a^2(1-\frac{y^2}{b^2})$，代入上式消去 $x^2$：

$|PB{|}^2=a^2(1-\frac{y^2}{b^2})+y^2-2by+b^2$

$=(1-\frac{a^2}{b^2})y^2-2by+a^2+b^2$

这是一个关于 $y$ 的二次函数，记为 $f(y)$。

因为椭圆中 $a>b>0$，所以二次项系数 $(1-\frac{a^2}{b^2})<0$，该抛物线开口向下。

其对称轴为：

$y_0=-\frac{-2b}{2(1-\frac{a^2}{b^2})}=\frac{b}{1-\frac{a^2}{b^2}}$

因为分母 $1-\frac{a^2}{b^2}<0$，且 $b>0$，所以对称轴 $y_0<0$。

题目要求 $|PB|⩽2b$ 恒成立，即 $|PB{|}^2⩽4b^2$ 恒成立。

容易验证，当 $y=-b$ 时，$f(-b)=4b^2$。

这说明该二次函数在区间 $y\in [-b,b]$ 上的最大值必须恰好在左端点 $y=-b$ 处取得！

要使开口向下的抛物线在 $[-b,b]$ 上的最大值在左端点 $y=-b$ 处取得，其对称轴必须在区间左侧或恰好等于左端点（此时在区间内单调递减）。

即：对称轴 $y_0⩽-b$

$\frac{b}{1-\frac{a^2}{b^2}}⩽-b$

因为 $1-\frac{a^2}{b^2}<0$，不等式两边同乘该分母，不等号变号：

$b⩾-b(1-\frac{a^2}{b^2})$

$1⩾-1+\frac{a^2}{b^2}$

$\frac{a^2}{b^2}⩽2$

即 $a^2⩽2b^2$。

将 $b^2=a^2-c^2$ 代入：

$a^2⩽2(a^2-c^2)$

$2c^2⩽a^2$

$e^2=\frac{c^2}{a^2}⩽\frac{1}{2}$

因为椭圆离心率 $e>0$，所以 $0<e⩽\frac{\sqrt{2}}{2}$。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 圆锥曲线上的距离最值问题，首选“消元转函数”法。本题中设 $P(x,y)$，将两点距离平方转化为关于坐标 $y$ 的二次函数，是解析几何中的“黄金通法”。

2. 易错点剖析：在研究含参二次函数在闭区间 $[-b,b]$ 上的最值时，必须关注“对称轴”与“区间”的位置关系（动轴定区间问题）。很多考生能列出 $f(y)$ 的表达式，但忽视了开口向下时，最大值的位置完全取决于对称轴的位置，从而无法得出 $\frac{b}{1-a^2/b^2}⩽-b$ 这个核心不等式。

3. 极限法的局限性：解法一通过判别式求得极限值，再结合选项“蒙”出范围，在考场上能快速拿分，但在解答题中过程不够严密，容易被扣掉过程分。解法二体现了扎实的代数基本功。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程