2021-浙江卷-02 单-复数相等

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数相等的充要条件。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）2. 已知 $a\in \mathbf{R}$，$(1+ai)i=3+i$，($i$ 为虚数单位)，则 $a=$（ ）

A. $-1$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $-3$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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本题考查复数的乘法及复数相等的概念。 第一步：先将等式左边的括号展开，把式子化简为标准形式 $A+Bi$。注意运用虚数单位的性质 $i^2=-1$。 第二步：利用复数相等的充要条件（即两个复数的实部等于实部，虚部等于虚部）列出关于 $a$ 的方程，即可解出 $a$ 的值。

✍【详细解析】

Abstract

将等式左边展开化简： $(1+ai)i=i+a{i}^2$

因为 $i^2=-1$，代入得： $i+a(-1)=-a+i$

根据已知条件，该复数等于 $3+i$，即： $-a+i=3+i$

由复数相等的充要条件（实部与实部分别相等，虚部与虚部分别相等）可得： $-a=3$ 且 $1=1$

解得：$a=-3$。

对比选项，正确答案为 C。

✅【答案】

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C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 虚数单位的幂次规律： 牢记 $i^1=i$，$i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$。遇到复数乘法，只需按普通多项式乘法展开，再把所有的 $i^2$ 替换成 $-1$ 即可。
• 复数相等的本质： 若 $a+bi=c+di$（其中 $a,b,c,d\in \mathbf{R}$），则必有 $a=c$ 且 $b=d$。复数相等的题型，核心思想就是“实虚分离，对号入座”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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