2021-浙江卷-20 解-数列综合

本题导读

本题考查数列递推式。核心在于差分法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年浙江卷）20. 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=-\frac{9}{4}$，且 $4S_{n+1}=3S_n-9$。

（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项；

（2）设数列 $\{b_n\}$ 满足 $3b_n+(n-4)a_n=0(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$，记 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，若 $T_n\le \lambda b_n$ 对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

破题导航

第一问： 利用 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$。通过对已知递推式作差消去常数项 $-9$，证明 $\{a_n\}$ 是等比数列。 第二问： - 求出 $b_n=(n-4)(\frac{3}{4}{)}^n$。

• 识别出 $b_n$ 为“等差 $\times$ 等比”结构，采用错位相减法求 $T_n$。
• 恒成立转化： 将 $T_n\le \lambda b_n$ 转化为关于 $n$ 的函数不等式。
• 核心讨论： 注意到 $b_n$ 在 $n=4$ 时为 $0$，且在 $n<4$ 和 $n>4$ 时正负号不同。因此，参数分离时必须根据 $n$ 的范围分三种情况讨论，分别求出 $\lambda$ 的上界和下界。

(解析过程见前文，此处略，重点补充拓展延伸)

✍【详细解析】

Abstract

（1）结论： $a_n=-3\cdot (\frac{3}{4}{)}^n$ （2）结论： $-3\le \lambda \le 1$

✅【答案】

点击查看答案

(1) $a_n=-3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^n$

(2) 实数 $\lambda$ 的取值范围为 $-3\le \lambda \le 1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• $S_n$ 变 $a_n$ 的严谨性： 在利用 $S_{n+1}$ 与 $S_n$ 作差时，只能得到 $n\ge 2$ 的规律。必须单独检验 $n=1$ 是否符合通项，这是大题不丢分的关键。

• 分离参数的变号问题： 在不等式 $\lambda (n-4)\ge -3n$ 中，当 $n-4$ 为负数时，不等号方向会翻转。这是导致很多考生解出“单向区间”而丢掉一半范围的主因。

错位相减法极易算错。若 $b_n=[f_1+(n-1)d]\cdot q^n$，其前 $n$ 项和 $T_n$ 的结果一定符合以下结构： $T_n=\frac{A\cdot q-(A+nd)q^{n+1}}{1-q}+\text{常数}$ 在考场上，求完 $T_n$ 后，务必代入 $n=1$ 检验。例如本题中，代入 $n=1$ 得到 $T_1=-4(1)(\frac{3}{4}{)}^2=-\frac{9}{4}$，而 $b_1=(1-4)(\frac{3}{4}{)}^1=-\frac{9}{4}$。两者相等，说明求和公式正确。

本题的第（2）问实际上考查了函数 $f(n)=\frac{-3n}{n-4}$ 的性质：

• 当 $n\in \{1,2,3\}$ 时： $f(n)$ 构成一个集合 $\{1,3,9\}$。由于此时系数 $(n-4)$ 为负，不等式要求 $\lambda \le f(n)$，即 $\lambda \le \min \{1,3,9\}=1$。

• 当 $n\in \{5,6,7,\dots \}$ 时： 系数 $(n-4)$ 为正，不等式要求 $\lambda \ge f(n)$。 观察函数 $f(n)=-3-\frac{12}{n-4}$： 随着 $n$ 增大，$\frac{12}{n-4}$ 逐渐减小且趋于 $0$，故 $f(n)$ 是单调递增的。 它的取值集合为 $\{-15,-9,-7,\dots \}$，并从下方无限趋近于 $-3$。 要使 $\lambda \ge f(n)$ 对所有 $n\ge 5$ 恒成立，$\lambda$ 必须大于或等于该数列的上确界（极限值）。 即 $\lambda \ge {\lim }_{n\to \infty }f(n)=-3$。

这类题目往往暗示了：数列是特殊的函数。通过分析 $f(n)$ 的增减性和渐近线，可以迅速锁定参数范围。以后遇到类似“对任意 $n$ 恒成立”且含有一次项因子的题目，第一反应应当是关于该因子零点的分类讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-19 解-Sn与an求和
• 2020-全国卷I理-17 解-数列求和
• 2008-安徽卷文-21 解-递推数列三问