2021-甲卷文-22 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查直角坐标与极坐标的互化。核心在于坐标转化法、向量代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷文）在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho =2\sqrt{2}\cos \theta$．

（1）将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0)$，$M$ 为 $C$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$，写出 $P$ 的轨迹 $C_1$ 的参数方程，并判断 $C$ 与 $C_1$ 是否有公共点．

🔍【思路分析】

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1. 第一问（极坐标化直角坐标）：

   • 观察方程 $\rho =2\sqrt{2}\cos \theta$，两边同乘 $\rho$ 构造出 ${\rho }^2$ 和 $\rho \cos \theta$。

   • 利用转换公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 和 $x=\rho \cos \theta$ 进行代换。

   • 通过配方法将得到的一元二次方程化为圆的标准方程，明确其圆心和半径。

2. 第二问（求轨迹与位置关系判定）：

   • 相关点代入法：设出动点 $P(x,y)$ 和已知轨迹上的点 $M(x_1,y_1)$。利用向量关系 $\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$ 建立坐标之间的联系，将 $x_1,y_1$ 用 $x,y$ 表示出来。

   • 求轨迹方程：将表示出的 $x_1,y_1$ 代入第一问求得的圆 $C$ 的直角坐标方程，化简后得到轨迹 $C_1$ 的直角坐标方程，并由此写出其参数方程。

   • 判断位置关系：判断两圆 $C$ 和 $C_1$ 的位置关系，计算它们圆心距 $d=|C{C}_1|$，并与两圆半径之差 $|R-r|$ 或半径之和 $R+r$ 进行比较。

✅【答案】

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(1) $(x-\sqrt{2}{)}^2+y^2=2$

(2) 参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2\cos \alpha \\ y=2\sin \alpha \end{array}$（$\alpha$ 为参数），没有公共点

✍【详细解析】

Abstract

（1）将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程

已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho =2\sqrt{2}\cos \theta$．

等式两边同时乘以 $\rho$，得：

${\rho }^2=2\sqrt{2}\rho \cos \theta$

根据极坐标与直角坐标的互化公式：${\rho }^2=x^2+y^2$，$\rho \cos \theta =x$，代入得：

$x^2+y^2=2\sqrt{2}x$

移项并配方：

x^2 - 2\sqrt{2}x + (\sqrt{2})^2 + y^2 = 2$$$$(x - \sqrt{2})^2 + y^2 = 2

结论：曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2}{)}^2+y^2=2$，它表示以点 $C(\sqrt{2},0)$ 为圆心，半径 $r=\sqrt{2}$ 的圆．

（2）写出 $P$ 的轨迹 $C_1$ 的参数方程并判断公共点

1. 建立动点坐标联系：

设点 $P$ 的直角坐标为 $(x,y)$，点 $M$ 的直角坐标为 $(x_1,y_1)$．

已知 $A(1,0)$，则向量坐标为：

$\overrightarrow{AP}=(x-1,y)$

$\overrightarrow{AM}=(x_1-1,y_1)$

由已知条件 $\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$，可得坐标等式：

$\{\begin{array}{l}x-1=\sqrt{2}(x_1-1)\\ y=\sqrt{2}{y}_1\end{array}$

解得 $M$ 点坐标关于 $P$ 点坐标的表达式：

$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-1)+1\\ y_1=\frac{\sqrt{2}}{2}y\end{array}$

2. 求轨迹 $C_1$ 的方程并参数化：

因为点 $M(x_1,y_1)$ 在曲线 $C:(x-\sqrt{2}{)}^2+y^2=2$ 上，代入得：

${\left[\frac{\sqrt{2}}{2}(x-1)+1-\sqrt{2}\right]}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}y\right)}^2=2$

提取公因式 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 进行化简：

\left[ \frac{\sqrt{2}}{2}(x - 1 + \sqrt{2} - 2) \right]^2 + \frac{1}{2}y^2 = 2$$$$\frac{1}{2} (x - 3 + \sqrt{2})^2 + \frac{1}{2}y^2 = 2

两边同乘 $2$，得到点 $P$ 的轨迹 $C_1$ 的直角坐标方程为：

$(x-3+\sqrt{2}{)}^2+y^2=4$

该轨迹是一个以 $C_1(3-\sqrt{2},0)$ 为圆心，半径 $R=2$ 的圆．

其参数方程可写为：

$\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2\cos \alpha \\ y=2\sin \alpha \end{array}(\alpha \text{ 为参数})$

3. 判断 $C$ 与 $C_1$ 的位置关系：

圆 $C$：圆心 $C(\sqrt{2},0)$，半径 $r=\sqrt{2}$．

圆 $C_1$：圆心 $C_1(3-\sqrt{2},0)$，半径 $R=2$．

计算两圆的圆心距 $d$：

$d=|C{C}_1|=|(3-\sqrt{2})-\sqrt{2}|=|3-2\sqrt{2}|=3-2\sqrt{2}$

计算两圆半径之差的绝对值：

$|R-r|=2-\sqrt{2}$

比较 $d$ 与 $|R-r|$ 的大小：

采用作差法或放缩估算法：

$(3-2\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})=1-\sqrt{2}<0$．

故 $d<|R-r|$．

这说明两圆心之间的距离小于两圆半径之差，即小圆 $C$ 完全包含在大圆 $C_1$ 的内部（内含关系）．

结论：圆 $C$ 与圆 $C_1$ 没有公共点．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 相关点代入法：处理“已知主动点轨迹，求从动点轨迹”的问题，通法是写出映射关系（向量表示最为方便），反解出主动点坐标，然后代入主动点所在的方程。

  2. 两圆位置关系判定：必须严格计算圆心距 $d$，并与 $R+r$（外离/外切判定）和 $|R-r|$（内含/内切判定）进行比较。

• 规律总结：从几何变换的视角看，$\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}$ 表示将圆 $C$ 以点 $A(1,0)$ 为位似中心，放大 $\sqrt{2}$ 倍得到新圆 $C_1$。其半径自然变为原来的 $\sqrt{2}$ 倍（$\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$）。

• 避坑指南：

  • 代数提取错误：在化简代入后的复杂式子时，提取平方项内的系数 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，要特别注意常数项的对应除法（如 $+1-\sqrt{2}$ 除以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 变为 $\sqrt{2}-2$）。

  • 参数混淆：极坐标参数 $\theta$ 与直角坐标参数方程的参数（如 $\alpha$）意义不同，书写时建议换一个字母以示严谨。

📖【试题探源与推广】

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1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程
• 2013-辽宁卷理-23 解-极坐标化直角坐标
• 2014-新课标I卷理-23 解-圆与椭圆的参数方程