2014-新课标I卷理-23 解-圆与椭圆的参数方程

本题导读

本题考查参数方程与普通方程的互化及其应用。第一问为基础的消参运算；第二问将空间距离问题转化为点到直线的距离问题，结合三角函数的性质求最值，体现了数形结合与转化的数学思想。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 已知曲线 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直线 $l:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=2-2t\end{array}$ ($t$ 为参数).

(1) 写出曲线 $C$ 的参数方程，直线 $l$ 的普通方程；

(2) 过曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 作与 $l$ 夹角为 $30^{\circ }$ 的直线，交 $l$ 于点 $A$，求 $|PA|$ 的最大值与最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：方程互化
   • 椭圆参数方程：利用 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$，令 $x=a\cos \theta ,y=b\sin \theta$。
   • 直线普通方程：通过消去参数 $t$（如由 $t=x-2$ 代入 $y$ 的表达式）得到 $x,y$ 的线性关系。
2. 第二问：最值求解
   • 建立几何模型：在直角三角形中，若 $P$ 到 $l$ 的距离为 $d$，$\angle PAL=30^{\circ }$，则 $|PA|=\frac{d}{\sin 30^{\circ }}=2d$。
   • 距离函数化：设 $P(2\cos \theta ,3\sin \theta )$，利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 得到关于 $\theta$ 的函数。
   • 三角化简：利用辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\varphi )$ 求出 $d$ 的取值范围，进而求得 $|PA|$ 的最值。

✅【答案】

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第 (1) 小题：方程互化；$2x+y-6=0$；第 (2) 小题：求 $|PA|$ 的最值

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：方程互化

1. 曲线 $C$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，其参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta \\ y=3\sin \theta \end{array}\text{ (θ 为参数)}$
2. 直线 $l:\{\begin{array}{l}x=2+t\text{(1)}\\ y=2-2t\text{(2)}\end{array}$ 由 ① 得 $t=x-2$，代入 ② 得： $y=2-2(x-2)⟹y=2-2x+4$ 即直线 $l$ 的普通方程为：$2x+y-6=0$。

第 (2) 小题：求 $|PA|$ 的最值 设曲线 $C$ 上任意一点 $P(2\cos \theta ,3\sin \theta )$。 点 $P$ 到直线 $l:2x+y-6=0$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|2(2\cos \theta )+3\sin \theta -6|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|4\cos \theta +3\sin \theta -6|}{\sqrt{5}}$ 根据辅助角公式，$4\cos \theta +3\sin \theta =5\sin (\theta +\alpha )$（其中 $\tan \alpha =\frac{4}{3}$）。 则 $d=\frac{|5\sin (\theta +\alpha )-6|}{\sqrt{5}}$。 由于 $-1\le \sin (\theta +\alpha )\le 1$， 当 $\sin (\theta +\alpha )=-1$ 时，$d_{max}=\frac{|-5-6|}{\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{5}$； 当 $\sin (\theta +\alpha )=1$ 时，$d_{min}=\frac{|5-6|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

根据几何关系，点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d=|PA|\cdot \sin 30^{\circ }$。 所以 $|PA|=\frac{d}{\sin 30^{\circ }}=2d$。 由此得：

• $|PA{|}_{max}=2\times \frac{11\sqrt{5}}{5}=\frac{22\sqrt{5}}{5}$
• $|PA{|}_{min}=2\times \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程与普通方程互化、点到直线的距离、辅助角公式求最值。

2. 核心方法：消参化普通方程，点到直线距离公式配合辅助角公式求最值。

3. 避坑指南：直线方程消参时注意系数不要算错。参数方程中 $\theta$ 的范围通常默认为 $[0,2\pi )$，覆盖全曲线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直线的参数方程中 $t$ 的几何意义（点到定点的距离）、极坐标方程与直角坐标的互化。

2. 结论推广: 若夹角为 $\alpha$，则 $|PA|=\frac{d}{\sin \alpha }$。当直线与曲线相切时，$d$ 取得最值。

3. 方法推广: 涉及参数方程上的点到直线距离，统一化为三角函数单变量函数是通用套路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-16 填-椭圆的参数方程与标准方程
• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程
• 2026-新高考II卷-09 多-圆的方程