2021-甲卷理-07 单-等比数列单调性

本题导读

本题考查基本性质，以及数列的单调性。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，前 $n$ 项和为 $S_n$．设甲：$q>0$，乙：$\{S_n\}$ 是递增数列，则（　　）

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

🔍【思路分析】

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1. 明确数列单调性的代数等价关系：数列 $\{S_n\}$ 是递增数列，等价于对任意正整数 $n$，都有 $S_{n+1}-S_n>0$ 恒成立。在数列中，$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$，故“乙”成立等价于“等比数列的各项从第 2 项起均为正数”（实际上结合 $n=1$ 时 $S_2-S_1=a_2>0$ 等可作推导）。

2. 判定充分性 (甲 $⟹$ 乙)：假设 $q>0$，分析能否必然推导出 $a_{n+1}>0$ 恒成立。考虑首项 $a_1$ 的正负影响，尝试举出反例。

3. 判定必要性 (乙 $⟹$ 甲)：假设 $\{S_n\}$ 是递增数列（即 $a_{n+1}=a_1{q}^n>0$ 恒成立），通过取 $n=1$ 和 $n=2$ 的特殊情况，推导出首项 $a_1$ 和公比 $q$ 必须满足的符号约束，看能否必然得出 $q>0$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 分析条件“乙”的代数本质：

已知数列 $\{S_n\}$ 是递增数列，则对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，恒有 $S_{n+1}>S_n$．

即 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}>0$ 恒成立．

因为 $\{a_n\}$ 是等比数列，所以 $a_{n+1}=a_1{q}^n>0$ 对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒成立．

2. 判定充分性 (甲 $⟹$ 乙)：

假设命题“甲”成立，即 $q>0$．

则 $q^n>0$ 恒成立。但是，$a_{n+1}=a_1{q}^n$ 的正负还取决于首项 $a_1$ 的正负。

举反例：若取 $a_1=-1,q=2>0$．

此时 $a_n=-1\times 2^{n-1}<0$ 恒成立，即 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}<0$．

这说明 $\{S_n\}$ 是一个递减数列，命题“乙”不成立．

因此，甲推不出乙，甲不是乙的充分条件．

3. 判定必要性 (乙 $⟹$ 甲)：

假设命题“乙”成立，即 $a_{n+1}=a_1{q}^n>0$ 对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒成立．

取 $n=1$，得 $a_2=a_{1}q>0$ ①；

取 $n=2$，得 $a_3=a_1{q}^2>0$ ②．

由等比数列定义知 $q\ne 0$，故 $q^2>0$．

将其代入 ② 式可得，必有 $a_1>0$．

再将 $a_1>0$ 代回 ① 式 $a_{1}q>0$，可推得必有 $q>0$．

即命题“甲”一定成立．

因此，乙能推出甲，甲是乙的必要条件．

4. 综合结论：

甲是乙的必要条件但不是充分条件．

结论：

对应选项 B 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 和差转化：判断前 $n$ 项和 $S_n$ 的单调性，直接转化为考察通项 $a_{n+1}$（从第二项开始）的正负即可（$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$），无需套用求和公式进行复杂的比对。

  2. 符号分析法：在处理 $a_1{q}^n>0$ 这类指数型恒成立不等式时，取 $n=1,2$（一奇一偶）是分析参数符号的“照妖镜”。

• 规律总结：对于等比数列 $\{a_n\}$：

  • $\{a_n\}$ 递增的充要条件是：$(a_1>0$ 且 $q>1)$ 或 $(a_1<0$ 且 $0<q<1)$。

  • $\{S_n\}$ 递增的充要条件是：$a_n>0$ 对所有 $n\ge 2$ 成立，即 $a_1>0$ 且 $q>0$。

• 避坑指南：很多考生容易产生直觉误区，认为公比 $q>0$ 数列就在不断增加。实际上，如果首项是负数，且 $q>1$（如 $-2,-4,-8\dots$），数列反而是加速递减的。千万不可忽略 $a_1$ 对初始符号的决定权。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-07 单-等比数列单调性充要
• 2013-上海卷理-16 单-充分条件与必要条件
• 2013-北京卷理-03 单-充分条件、必要条件判定