2022-上海卷-10 填-等差数列前n项和

本题导读

本题考查前n项和公式，以及前n项和的二次函数性质。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差不为零，$S_n$ 为其前 $n$ 项和，若 $S_5=0$，则 $S_i(i=0,1,2,\dots ,100)$ 中不同的数值有 $\underline{}$ 个．

🔍【思路分析】

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本题有两种解题思路：

思路一（代数运算法，原解析思路）：利用等差数列求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 和 $S_5=0$，找出首项 $a_1$ 和公差 $d$ 的关系，将 $S_n$ 表示为关于 $n$ 的含参数 $d$ 的表达式，然后直接观察并找出其中相等的项，最后用总项数减去重复的项数。

思路二（二次函数对称法，推荐）：等差数列的前 $n$ 项和 $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$ 本质上是一个常数项为 $0$ 的关于 $n$ 的二次函数（点集）。已知 $S_0=0$，$S_5=0$，说明该二次函数图像过 $(0,0)$ 和 $(5,0)$，由此可直接得出对称轴。利用抛物线的对称性，可以直接找出所有纵坐标相等的点。

✅【答案】

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$98$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：代数表达式法（原解析方法）

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$（已知 $d\ne 0$）。

因为 $S_5=0$，根据前 $n$ 项和公式：

$S_5=5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=5a_1+10d=0$

解得：$a_1=-2d$。

将 $a_1=-2d$ 代入 $S_n$ 的通项公式中：

$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=n(-2d)+\frac{n^2-n}{2}d=\frac{d}{2}(n^2-5n)$。

因为 $d\ne 0$，观察 $S_n=\frac{d}{2}n(n-5)$：

当 $n=0$ 或 $n=5$ 时，$S_0=S_5=0$；

当 $n=1$ 或 $n=4$ 时，$S_1=S_4=\frac{d}{2}(1-5)=-2d$；

当 $n=2$ 或 $n=3$ 时，$S_2=S_3=\frac{d}{2}(4-10)=-3d$。

对于 $n\ge 6$ 的情况，由于二次函数 $n^2-5n$ 在 $n\ge \frac{5}{2}$ 时单调递增，所以其余的 $S_n$ 值均不相等，且不等于上述计算出的值。

在 $i=0,1,2,\dots ,100$ 这 $101$ 个数中：

共有 $3$ 对相等的数值（即产生 $3$ 个重复值）。

因此，不同的数值共有：$101-3=98$ 个。

解法二：二次函数对称法（快速求解技巧）

等差数列前 $n$ 项和公式可化为 $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$，这是一个开口向上或向下、过原点的二次函数。

由题意 $S_0=0$（显然成立）且 $S_5=0$。

所以该二次函数图像经过点 $(0,0)$ 和 $(5,0)$。

根据抛物线的对称性，其对称轴为 $n=\frac{0+5}{2}=2.5$。

在二次函数图像上，关于对称轴对称的自变量 $n$（这里 $n$ 必须为整数），对应的函数值 $S_n$ 相等。

距离对称轴 $2.5$ 相等的非负整数对有：

• 距离为 $0.5$：$(2,3)$，即 $S_2=S_3$

• 距离为 $1.5$：$(1,4)$，即 $S_1=S_4$

• 距离为 $2.5$：$(0,5)$，即 $S_0=S_5$

当 $n\ge 6$ 时，由于都在对称轴的同一侧，函数单调，不可能再出现相等的 $S_n$。

因此，在 $i=0$ 到 $100$ 共 $101$ 项中，有 $3$ 对值相等（即多出了 $3$ 个重复项）。

所以不同的数值有：$101-3=98$ 个。

故答案为：$98$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心规律/公式：

  1. $S_n$ 的二次函数形式：$S_n=A{n}^2+Bn$（其中 $A=\frac{d}{2}$，$B=a_1-\frac{d}{2}$）。若 $d\ne 0$，这就是一个没有常数项的二次函数。

  2. 若 $S_p=S_q$，则该二次函数的对称轴为 $n=\frac{p+q}{2}$，且 $S_{p+q}=0$。本题即是利用了这一反向推论。

• 试题评价：本题考查等差数列的前 $n$ 项和公式、通项公式等基础知识。题干中的 $S_0$ 起到了关键的提示作用。能够熟练运用二次函数对称性解题的学生，可以在这道题上节约大量时间。

• 易错提醒：

  • 总项数陷阱：$i$ 从 $0$ 取到 $100$，共有 $101$ 项，而不是 $100$ 项。很多学生习惯性用 $100-3=97$，导致失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-15 填-等差数列待定系数
• 2008-北京卷文-07 单-等差数列偶数项子列
• 2008-天津卷文-04 单-等差数列基本量