2022-天津卷-02 单-充要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） “$x$ 是整数”是“$2x+1$ 为整数”的()条件。

A. 充分而不必要　　　　　　　　　　　　　B. 必要而不充分

C. 充要　　　　　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要

🔍【思路分析】

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本题考查充分条件与必要条件的判断。结合实数的分类知识即可解决问题。判断时可分别从“充分性（前推后）”和“必要性（后推前）”两个方向进行验证，必要时可通过举反例来否定。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

充分性（前推后）：

当 $x$ 是整数时，$2x$ 必然是偶数，则 $2x+1$ 必然为整数（且为奇数），所以“$x$ 是整数”是“$2x+1$ 为整数”的充分条件。

必要性（后推前）：

当 $2x+1$ 为整数时，$x$ 不一定是整数。例如取 $x=\frac{1}{2}$ 时，$2x+1=2\times \frac{1}{2}+1=2$，此时 $2x+1$ 为整数，但 $x$ 不是整数，所以“$x$ 是整数”不是“$2x+1$ 为整数”的必要条件。

综上所述，“$x$ 是整数”是“$2x+1$ 为整数”的充分而不必要条件。

故选：A。

本题考察充分条件、必要条件的知识，结合了实数的基本分类与性质进行判断。题目结构简单，思路清晰，属于基础题。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 概念判断标准：利用定义法判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件，核心在于验证 $p\Rightarrow q$（充分性）和 $q\Rightarrow p$（必要性）是否成立。

2. 举反例（特例法）的应用：在逻辑判断中，要证明一个推导不成立（例如本题证明必要性不成立），最快速且严谨的方法就是举反例。遇到含有变量的命题，尝试代入分数（如 $x=\frac{1}{2}$）、负数或 $0$ 进行验证，往往能快速破题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-16 单-充分条件与必要条件
• 2013-北京卷理-03 单-充分条件、必要条件判定
• 2013-山东卷理-07 单-充分必要条件判定