2022-天津卷-16 解-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理。核心在于代数运算法、几何性质分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$。已知 $a=\sqrt{6}$，$b=2c$，$\cos A=-\frac{1}{4}$。

（1）求 $c$ 的值；

（2）求 $\sin B$ 的值；

（3）求 $\sin (2A-B)$ 的值。

🔍【思路分析】

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本题考查解三角形的基本公式及三角恒等变换。

1. 第一问：已知三边（其中两边用含 $c$ 的式子表示）及其中一个角的余弦值，优先考虑使用余弦定理建立关于 $c$ 的一元二次方程，从而求解。

2. 第二问：在已知 $a,\sin A$（由 $\cos A$ 转化而来）以及边 $b$ 的情况下，利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 直接求出 $\sin B$。

3. 第三问：目标是求解 $\sin (2A-B)$，需利用两角差的正弦公式展开为 $\sin 2A\cos B-\cos 2A\sin B$。因此，需要先利用同角三角函数关系和二倍角公式，分别计算出 $\sin 2A,\cos 2A$ 以及 $\cos B$ 的值，再代入计算。

✅【答案】

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(1) $\frac{\sqrt{15}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{10}}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $c$ 的值

1. 应用余弦定理：

   由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，将已知条件代入：

   $(\sqrt{6}{)}^2=(2c{)}^2+c^2-2(2c)(c)\left(-\frac{1}{4}\right)$

2. 化简计算：

   6 = 4c^2 + c^2 + c^2$$$$6 = 6c^2 \implies c^2 = 1

3. 得出结果：

   因为 $c$ 为三角形边长，$c>0$，所以 $c=1$。此时 $b=2c=2$。

（2）求 $\sin B$ 的值

1. 求 $\sin A$：

   因为 $\cos A=-\frac{1}{4}$，且 $A\in (0,\pi )$，

   所以 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。

2. 应用正弦定理：

   由 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得：

   $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}}{\sqrt{6}}$

3. 化简结果：

   $\sin B=\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$

（3）求 $\sin (2A-B)$ 的值

1. 准备基本量：

   • 求 $\cos B$：

     由 $b=2,a=\sqrt{6}$ 可知 $b<a$，故角 $B$ 为锐角。 $\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}=\sqrt{1-\frac{10}{16}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。

   • 求二倍角 $\sin 2A$ 和 $\cos 2A$：

     $\sin 2A=2\sin A\cos A=2\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{\sqrt{15}}{8}$。

     $\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1=2\cdot \frac{1}{16}-1=-\frac{7}{8}$。

2. 应用公式展开：

   \sin(2A - B) = \sin 2A \cos B - \cos 2A \sin B$$$$\sin(2A - B) = \left(-\frac{\sqrt{15}}{8}\right) \cdot \frac{\sqrt{6}}{4} - \left(-\frac{7}{8}\right) \cdot \frac{\sqrt{10}}{4}

3. 合并计算：

   $\sin (2A-B)=-\frac{3\sqrt{10}}{32}+\frac{7\sqrt{10}}{32}=\frac{4\sqrt{10}}{32}=\frac{\sqrt{10}}{8}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 公式选择：已知两边一夹角或三边关系时，首选余弦定理。

2. 范围判定：在三角变换中，一定要注意角的取值范围对三角函数值符号的影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 天津卷文-15 解-解三角形
• 2025-天津卷-16 解-解三角形综合
• 2009-天津卷理-17