2022-甲卷文-03 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及共轭复数与复数的模。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷文） 若 $z=1+\text{i}$，则 $|\text{i}z+3\bar{z}|=$ ()

A. $4\sqrt{5}$　　　　　　　B. $4\sqrt{2}$　　　　　　　C. $2\sqrt{5}$　　　　　　　D. $2\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $z=1+\text{i}$ 求出其共轭复数 $\bar{z}$，并分别计算出 $\text{i}z$ 与 $3\bar{z}$。
2. 化简复数 $\text{i}z+3\bar{z}$ 为代数形式 $a+b\text{i}$，利用模长公式计算结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由题意，$z=1+\text{i}$，则共轭复数 $\bar{z}=1-\text{i}$。 计算各部分： $\text{i}z=\text{i}(1+\text{i})=-1+\text{i}$ $3\bar{z}=3(1-\text{i})=3-3\text{i}$ 相加得： $\text{i}z+3\bar{z}=(-1+\text{i})+(3-3\text{i})=2-2\text{i}$ 计算模长： $|\text{i}z+3\bar{z}|=|2-2\text{i}|=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

故选：D

🎯 【考点归纳与避坑指南】

1. 核心考点：共轭概念 $\overline{a+b\text{i}}=a-b\text{i}$ 与模长公式 $|a+b\text{i}|=\sqrt{a^2+b^2}$。
2. 核心方法：先整体代入化简为 $a+b\text{i}$ 标准形式，再求模。
3. 避坑指南：计算 $\text{i}(1+\text{i})$ 时注意 ${\text{i}}^2=-1$，防范符号运算错误。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-辽宁卷理-01 单-复数除法
• 2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭