2022-甲卷理-08 单-会圆术

本题导读

本题考查《梦溪笔谈》会圆术，以及弦与弧的关系。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，$\widehat{AB}$ 是以 $O$ 为圆心，$OA$ 为半径的圆弧，$C$ 是 $AB$ 的中点，$D$ 在 $\widehat{AB}$ 上，$CD\perp AB$．“会圆术”给出 $\widehat{AB}$ 的弧长的近似值 $s$ 的计算公式：$s=AB+\frac{C{D}^2}{OA}$．当 $OA=2$，$\angle AOB=60^{\circ }$ 时，$s=$ ()

A. $\frac{11-3\sqrt{3}}{2}$　　　B. $\frac{11-4\sqrt{3}}{2}$　　　C. $\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$　　　D. $\frac{9-4\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解公式参数：明确近似公式 $s=AB+\frac{C{D}^2}{OA}$ 中各个线段的几何意义。$AB$ 为弦长，$CD$ 为弧高（矢高），$OA$ 为半径。

2. 计算弦长 $AB$：在 $△AOB$ 中，根据半径长度和圆心角大小，判定三角形形状并求出底边长。

3. 计算弧高 $CD$：利用弦的中点垂线必然经过圆心的性质，求出弦心距 $OC$。再结合圆的半径 $OD$ 求出剩余部分 $CD$ 的长度。

4. 代入公式求解：将算出的各段长度代入题目给定的“会圆术”公式，化简结果得出最终答案。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 求弦长 $AB$：

已知半径 $OA=OB=2$，且圆心角 $\angle AOB=60^{\circ }$．

由于有一个角为 $60^{\circ }$ 的等腰三角形是等边三角形，故 $△AOB$ 为等边三角形．

因此，弦长 $AB=OA=2$．

2. 求弧高 $CD$：

已知 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $CD\perp AB$，根据圆的垂径定理，直线 $CD$ 必然经过圆心 $O$．

即 $O,C,D$ 三点共线，且 $OD$ 为圆的半径．

在 $\text{Rt}△AOC$ 中，$OA=2$，$AC=\frac{1}{2}AB=1$．

根据勾股定理，弦心距 $OC$ 为：

$OC=\sqrt{O{A}^2-A{C}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$

由于点 $D$ 在圆弧上，所以 $OD=OA=2$．

因此，弧高 $CD$ 为：

$CD=OD-OC=2-\sqrt{3}$

3. 代入“会圆术”公式计算 $s$：

根据给定的公式 $s=AB+\frac{C{D}^2}{OA}$，代入相关数值：

$s=2+\frac{(2-\sqrt{3}{)}^2}{2}$

展开完全平方公式：

$s=2+\frac{4-4\sqrt{3}+3}{2}=2+\frac{7-4\sqrt{3}}{2}$

通分合并：

$s=\frac{4}{2}+\frac{7-4\sqrt{3}}{2}=\frac{11-4\sqrt{3}}{2}$

4. 结论：

对应选项 B 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：处理信息给予题（新定义/数学文化题），“按图索骥” 是唯一法则。无需去证明或深究古人公式的理论来源，只需要把公式中要求的几何量（本题中为 $AB$ 和 $CD$）在基础几何图形中算出来即可。

• 规律总结：求圆的弧高（矢高），标准步骤就是先求弦心距（利用勾股定理 $\sqrt{R^2-(\frac{L}{2}{)}^2}$），再用半径减去弦心距。

• 避坑指南：

  • 完全平方展开：在计算 $(2-\sqrt{3}{)}^2$ 时，交叉项是 $2\times 2\times (-\sqrt{3})=-4\sqrt{3}$，不要因为粗心算成 $-2\sqrt{3}$ 从而错选 A。

  • 通分合并：在最后一步 $2+\frac{7-4\sqrt{3}}{2}$ 的通分过程中，常数 $2$ 需化为 $\frac{4}{2}$ 再相加，切忌直接加上分子。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程