2022-甲卷理-15 填-古典概型

本题导读

本题考查概率计算，以及截面与共面问题。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 从正方体的 $8$ 个顶点中任选 $4$ 个，则这 $4$ 个点在同一个平面的概率为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定样本空间总数：从正方体的 $8$ 个顶点中无放回、无顺序地任选 $4$ 个，基本事件总数为组合数 ${\text{C}}_8^4$。

2. 寻找符合条件的事件数：即寻找正方体中由 $4$ 个顶点构成的平面的个数。这类平面分为两类：

   • 表面：正方体自身的 $6$ 个表面。

   • 对角面：由正方体平行的两条面对角线构成的截面（如过上下底面对角线的面）。

3. 计算概率：将符合条件的平面总数除以样本空间总数，得到最终概率。

✅【答案】

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$\frac{6}{35}$

✍【详细解析】

Abstract

1. 计算基本事件总数（分母）：

从正方体的 $8$ 个顶点中任选 $4$ 个，由于不考虑选取顺序，总的取法数为组合数：

$n={\text{C}}_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70\text{（种）}$

2. 计算 4 个点共面的情况数（分子）：

要使选出的 4 个点共面，它们必须构成正方体的一个表面或内部的对角截面。

我们对其进行分类枚举：

• 第一类：正方体的表面

  正方体共有上下、左右、前后 $6$ 个面，每个面恰好包含 $4$ 个顶点。

  此类情况有 $6$ 种．

• 第二类：正方体的对角面

  对角面是指穿过正方体内部的矩形截面。

  由平行的两条面对角线构成（例如点 $A,B,C_1,D_1$ 构成的面）。

  在一个正方体中，每组相对的平行棱可以确定两个对角面（例如利用水平棱可得对角面 $AB{C}_1{D}_1$ 和 $A_1{B}_{1}CD$）。

  正方体共有 $3$ 组相对的平行棱（长、宽、高方向各一组），因此共有 $3\times 2=6$ 个对角面。

  此类情况有 $6$ 种．

合计符合条件的共面情况总数为：

$m=6+6=12\text{（种）}$

3. 计算概率：

根据古典概型概率公式：

$P=\frac{m}{n}=\frac{12}{70}=\frac{6}{35}$

4. 结论：

答案填入 $\frac{6}{35}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：处理立体几何计数问题，**“分类不重不漏”**是关键。对于正方体 4 点共面的情况，牢记常数结论：****$6$ 个表面 + $6$ 个对角面 = $12$ 个共面四边形。

• 规律总结：在正方体 8 个顶点中任选 4 个：

  • 构成矩形的有 12 个（即共面的情况）；

  • 构成正四面体的有 2 个（如 $A-B_{1}C{D}_1$）；

  • 剩余的是不规则的四面体。

• 避坑指南：绝大多数考生的错误在于空间想象不够全面，只算出了 $6$ 个表面（分子为 $6$），得出错误答案 $\frac{6}{70}=\frac{3}{35}$，遗漏了隐藏在内部的 $6$ 个对角面。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-18 解-卡片抽取概率
• 2008-江西卷文-11 单-古典概型计数
• 2009-江苏卷-05 填-古典概型