2023-上海卷-07 填-圆的方程

本题导读

本题考查圆的一般方程与标准方程，以及圆的周长与面积。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）已知圆 $x^2+y^2-4x-m=0$ 的面积为 $\pi$，则 $m=$ ________．

🔍【思路分析】

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1. 明确目标：已知圆的一般方程中包含参数 $m$，且给定了圆的面积，需要通过面积条件反推参数 $m$ 的值。

2. 方程转化：圆的一般方程不能直接看出半径，需要通过“配方法”将其转化为圆的标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$。转化后，等号右侧的代数式即为 $r^2$（需满足 $r^2>0$）。

3. 利用面积求半径：根据已知的圆面积 $S=\pi$ 和圆的面积公式 $S=\pi r^2$，可以求出 $r^2$ 的具体数值。

4. 构建等式求参：将配方得到的 $r^2$ 表达式与实际计算出的 $r^2$ 数值建立等式，解方程即可得到 $m$ 的值。

✅【答案】

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

解析

方法一：配方法（通法）

第一步：配方化为圆的标准方程

将已知圆的一般方程 $x^2+y^2-4x-m=0$ 移项整理，把常数项移到右边：

$x^2-4x+y^2=m$

对含有 $x$ 的项进行配方。为了配成完全平方式，等式两边需要同时加上 $(-2{)}^2=4$：

$(x^2-4x+4)+y^2=m+4$

化简得到圆的标准方程：

$(x-2{)}^2+y^2=m+4$

由圆的标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 可知，该圆的圆心为 $(2,0)$，半径的平方为：

$r^2=m+4$

（注意：这里隐含条件 $m+4>0$，即 $m>-4$，否则表示的不是一个圆）。

第二步：结合面积条件求参数

已知该圆的面积为 $\pi$。

根据圆的面积公式 $S=\pi r^2$，可得：

$\pi r^2=\pi$

解得：

$r^2=1$

将第一步得到的 $r^2=m+4$ 代入上述结果，构建关于 $m$ 的方程：

$m+4=1$

解得：

$m=1-4=-3$

检验：当 $m=-3$ 时，$m+4=1>0$，符合圆的方程的定义。

故答案为：$-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：完全平方公式在圆方程配方中的应用、圆一般方程的判别条件、圆的代数最基础度量。
2. 核心方法：配方法（通性通法）、公式化简法。
3. 避坑指南：

• 恒等变形漏项：在进行配方操作时，切记等式两端必须同时加上常数项。部分学生极易在左边写出 $(x-2{)}^2$ 的同时，右边遗漏加 4，错写成 $m=1$ 导致失分。
• 混淆 $r$ 与 $r^2$ 的几何属性：标准方程等号右侧的代数式代表的是半径的平方（$r^2$），而不是半径（$r$）。如果误将其直接视作半径，会导致列出 $\pi (m+4{)}^2=\pi$ 的错误面积方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题作为上海高考数学卷填空题第一阶段的解析几何题，重点考查二次曲线中圆的基本代数形态转化。
2. 结论推广：对于任意圆的一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，其能表示圆的充要条件为 $D^2+E^2-4F>0$。 此时，可以直接使用通用标准公式提取半径的平方： $r^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}$ 若本题直接套用此公式：已知 $D=-4,E=0,F=-m$，则 $r^2=\frac{(-4{)}^2+0^2-4(-m)}{4}=\frac{16+4m}{4}=4+m$。 再由面积为 $\pi ⟹r^2=1$，直接解得 $4+m=1⟹m=-3$。在熟练记忆公式的前提下，利用此结论可有效提升运算速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程