本题导读
本题考查多面体的结构特征（正四棱锥），以及分类加法计数原理。
📌【题干】
Question
（2023年上海卷）空间中三个点 、、 满足 ，在空间中任取 2 个不同的点，使得它们与 、、 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 ________ 种．
🔍【思路分析】
破题导航
- 明确正四棱锥特征：正四棱锥拥有一个正方形底面和四个全等的等腰三角形侧面，且顶点在底面的正体现为底面正方形的中心。
- 定位已知等边三角形：边长为 1 的等边 融入正四棱锥时，有两种可能的几何角色：
- 角色一： 作为正四棱锥的一个侧面（共 4 个全等侧面）。
- 角色二： 作为正四棱锥的一个对角截面（过顶点与底面对角线的截面，共 2 个）。
- 分步分类计数：针对这两种角色分别计算满足条件的另外两个顶点（）的空间组合数，最后相加。
✅【答案】
点击查看答案
9
✍【详细解析】
Abstract
设任取的另外两个点为 。已知的 是一个边长为 1 的固定等边三角形。根据 在正四棱锥中所处的空间位置进行分类讨论：
第一类： 作为正四棱锥的一个侧面 由于正四棱锥的四个侧面互相全等，若其一个侧面是边长为 1 的等边三角形，则该正四棱锥的 4 个侧面均为边长为 1 的等边三角形，侧棱长恒为 1。
- 设 为正四棱锥的顶点，线段 为底面正方形的一条边。
- 此时底面正方形的边长为 1（由 决定）。
- 以 为一条边在空间内构造边长为 1 的正方形 ，且需满足正方形中心到顶点 的体现为该中心。
- 以线段 所在的直线为轴，该正方形平面可以在平面 的两侧对称分布，各能确定 1 个符合条件的正四棱锥。
- 故当固定 为顶点时，共有 2 种取法。
- 同理，当 为顶点（ 为底面边）或 为顶点（ 为底面边）时，也分别各有 2 种取法。
此情况下的取法总数为：
第二类： 作为正四棱锥的一个对角截面 对角截面是由正四棱锥的顶点与底面正方形的一条对角线所围成的三角形区域。
- 设 为正四棱锥的顶点，线段 为底面正方形的一条对角线。
- 因为正四棱锥的顶点 在底面正方形的体现必须是底面正方形的中心，即对角线 的中点。
- 根据几何垂直关系，底面正方形所在的平面必须与平面 垂直，此平面在空间中被唯一确定。
- 在该平面内，以已知线段 为对角线构造正方形 。由于对角线和平面均已唯一确定，对应的另外两个顶点 仅有 1 种确定的空间位置。
- 此时侧棱长 ，底面正方形边长为 ，对角线为 1，完全符合正四棱锥的几何度量特征。
- 故以 为对角线、 为顶点时，共有 1 种取法。
- 同理，若以 为底面对角线、 为顶点，或者以 为底面对角线、 为顶点，也分别各有 1 种取法。
此情况下的取法总数为：
第三步：综合并求和 根据分类加法计数原理，满足条件的所有不同取法总计为：
故答案为：9。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：正四棱锥的侧面全等性与射影对称特征、过轴对角截面的线面正交规律。
- 核心方法：多面体构型分类法、分类加法计数原理。
- 避坑指南：
- 典型漏项陷阱：本题最常见的错误是只考虑到等边三角形作为“侧面”的一类（得出 6 种），而彻底遗漏了等边三角形还可以作为“由相对的两条侧棱与底面对角线构成”的对角截面一类。
- 空间对称位缺失：在讨论 为侧面时，由于正方形底面可以对称翻折至平面 的两侧，必须乘上翻折系数 2，切勿将其漏算。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题作为上海高考数学卷填空题的压轴题（第12题），将静态的多面体结构性质赋予动态的计数和拼装背景，是一道难度较高、极具空间想象力考查价值的思维拔高题。
- 结论推广：若将本题的已知三角形推向一般化：空间给定三个点构成边长为 的等边三角形，欲添加两个点组成各侧棱均相等、底面为正多边形的空间锥体：
- 若拼成各棱长均相等的正四棱锥（如本题），其取法种数始终恒定为 9 种（6 种等边侧面型 3 种对角面等腰型）；
- 若拼成所有棱长均相等的正三棱锥（即正四面体），由于四个面完全全等且不存在对角面，其添加两个点构造新底面的空间取法种类会随着多面体对称性的转换发生相应的阶数改变。
🔗【关联脉络】
Multi column
知识锚点 (Nodes)
类题演练 (Links)