2023-上海卷-16 单-椭圆双曲线综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及双曲线的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）已知 $P$，$Q$ 是曲线 $\Gamma$ 上两点，若存在 $M$ 点，使得曲线 $\Gamma$ 上任意一点 $P$ 都存在 $Q$ 使得 $|MP|\cdot |MQ|=1$，则称曲线 $\Gamma$ 是“自相关曲线”．现有如下两个命题：

①任意椭圆都是“自相关曲线”；

②存在双曲线是“自相关曲线”， 则（ ）

A. ①成立，②成立　　　　　　　　　　　　　B. ①成立，②不成立

C. ①不成立，②成立　　　　　　　　　　　　D. ①不成立，②不成立

🔍【思路分析】

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1. 转化新定义：设点 $M$ 到曲线 $\Gamma$ 上所有点的距离集合为 $S=\{|MX|\mid X\in \Gamma \}$。新定义要求对任意 $d\in S$，必有 $\frac{1}{d}\in S$。即距离集合 $S$ 对倒数映射 $x\mapsto \frac{1}{x}$ 具有封闭性。
2. 分析命题②（无界性突破）：双曲线是无限延伸的无界曲线。若点 $M$ 在双曲线上，取 $P$ 与 $M$ 重合则 $|MP|=0$，导致 $0\cdot |MQ|=1$ 无解；若点 $M$ 不在双曲线上， $M$ 到双曲线存在最小正距离 $d_{\min }>0$。当 $P$ 趋于无穷远时 $|MP|\to +\infty$，则要求 $|MQ|\to 0$，这与 $|MQ|⩾d_{\min }>0$ 矛盾。故双曲线必不成立。
3. 分析命题①（有界性构造）：椭圆是有界闭曲线，点 $M$ 到椭圆的距离集合为一个闭区间 $[d_{\min },d_{\max }]$。若要该区间对倒数封闭，只需满足两端点互为倒数，即 $d_{\min }\cdot d_{\max }=1$。可通过在长轴延长线上构造特异点 $M$ 来验证该方程是否有实数解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定命题②（双曲线情形）

采用反证法。假设存在某双曲线 $\Gamma$ 是“自相关曲线”，即存在固定点 $M$，对任意 $P\in \Gamma$，皆存在 $Q\in \Gamma$ 满足 $|MP|\cdot |MQ|=1$。

• 情况一：若点 $M$ 在双曲线 $\Gamma$ 上。 由于 $P$ 是曲线上的任意动点，当 $P$ 与 $M$ 重合时，距离 $|MP|=0$。 代入定义式得：$0\cdot |MQ|=1$，方程无解。因此点 $M$ 绝不能在双曲线上。
• 情况二：若点 $M$ 不在双曲线 $\Gamma$ 上。 因为双曲线是闭合图象外的无界曲线，点 $M$ 到双曲线 $\Gamma$ 的距离必能取得唯一个正极小值，设为 $d_{\min }>0$。即对任意 $X\in \Gamma$，恒有 $|MX|⩾d_{\min }$。 同时，双曲线向两端无限延伸。当动点 $P$ 沿渐近线方向趋于无穷远处时， $|MP|\to +\infty$。 由于必然存在点 $P$ 使得 $|MP|>\frac{1}{d_{\min }}$，依据自相关定义，必须在曲线上寻找到对应的点 $Q$ 满足： $|MQ|=\frac{1}{|MP|}<\frac{1}{\frac{1}{d_{\min }}}=d_{\min }$ 此结论与 $|MQ|⩾d_{\min }$ 的绝对下界约束相矛盾。

综上所述，没有任何双曲线能够满足“自相关曲线”的定义，故命题②不成立。

第二步：判定命题①（椭圆情形）

设任意椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a⩾b>0)$。 我们要证明：总能寻找到一个中心对称轴上的点 $M$，使得椭圆上任意点到 $M$ 的距离集合对倒数变换封闭。

尝试在 $x$ 轴正半轴的椭圆外部构造点 $M(x_0,0)$，其中 $x_0>a$。 设椭圆上任意动点为 $X(x,y)$，其横坐标约束为 $x\in [-a,a]$。 点 $X$ 到点 $M$ 的距离平方为： $|MX{|}^2=(x-x_0{)}^2+y^2$

将 $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$ 代入上式以消去元 $y$： $|MX{|}^2=x^2-2x_{0}x+x_0^2+b^2-\frac{b^2}{a^2}{x}^2=\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)x^2-2x_{0}x+x_0^2+b^2$

这是一个关于 $x$ 的二次函数，由于 $a⩾b>0$，二次项系数 $1-\frac{b^2}{a^2}⩾0$。

• 当 $a=b$ 时（椭圆退化为圆）， $|MX{|}^2=-2x_{0}x+x_0^2+a^2$，在 $x\in [-a,a]$ 上显然单调递减；
• 当 $a>b$ 时，该二次函数开口向上，其对称轴为： $x_{\text{sym}}=\frac{2x_0}{2\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)}=\frac{x_0{a}^2}{a^2-b^2}$ 由于 $x_0>a$ 且 $\frac{a^2}{a^2-b^2}>1$，必有 $x_{\text{sym}}>a$。

因此，无论椭圆扁平率如何，距离平方函数在定义域区间 $x\in [-a,a]$ 上均恒单调递减。 由此可精确提取出距离的最值端点：

• 当 $x=a$ 时（右顶点），距离取得极小值：$d_{\min }=x_0-a$；
• 当 $x=-a$ 时（左顶点），距离取得极大值：$d_{\max }=x_0+a$。

由于距离函数在闭区间上是连续变化的，其输出的距离集合为 $S=[x_0-a,x_0+a]$。 要使该闭区间内的元素取倒数后仍落在该区间内，只需使区间的两端点刚好互为倒数，即： $d_{\min }\cdot d_{\max }=1⟹(x_0-a)(x_0+a)=1$ $x_0^2-a^2=1⟹x_0=\sqrt{a^2+1}$

因为 $a>0$，则 $x_0=\sqrt{a^2+1}>a$ 恒成立，表明该点 $M$ 在长轴外侧必然存在。 此时距离集合为 $S=\left[\sqrt{a^2+1}-a,\sqrt{a^2+1}+a\right]$。对任意 $d\in S$，由于两端点积为 1，其倒数 $\frac{1}{d}$ 必有： $\sqrt{a^2+1}-a⩽\frac{1}{d}⩽\sqrt{a^2+1}+a$ 即 $\frac{1}{d}\in S$ 恒成立。由函数的连续性可知，必存在对应的点 $Q$ 契合条件。

综上所述，任意椭圆皆为“自相关曲线”，命题①成立。

结论为①成立，②不成立。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线的空间有界性特征、连续函数在紧致集上的最值有界性、二次函数区间单调性的代数判定。
2. 核心方法：构造法（判定椭圆）、极限分析法与排他性反证法（判定双曲线）。
3. 避坑指南：

• 陷入繁琐代数联立：部分学生在面对双曲线命题时，试图通过列出双曲线方程并与 $|MP||MQ|=1$ 进行大面积的代数运算，这会导致运算崩溃。必须化归到“有界与无界”的几何直观，利用无穷远点的极限行为实施快速求解。
• 单调性对称轴判定遗漏：在求椭圆最值距离时，必须严格通过 $x_0>a$ 论证二次函数的对称轴 $x_{\text{sym}}$ 位于区间 $[-a,a]$ 的右侧，从而确立单调性，才能断定最值必然在两顶点处取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2014-四川卷理-20 解-椭圆方程与性质