2023-上海卷-20 解-抛物线综合

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质。核心在于设点代头法（坐标参数化）、基本不等式法（求最值）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）已知抛物线 $\Gamma :y^2=4x$，在 $\Gamma$ 上有一点 $A$ 位于第一象限，设 $A$ 的纵坐标为 $a(a>0)$．

（1）若 $A$ 到抛物线 $\Gamma$ 准线的距离为 3，求 $a$ 的值；

（2）当 $a=4$ 时，若 $x$ 轴上存在一点 $B$，使 $AB$ 的中点在抛物线 $\Gamma$ 上，求 $O$ 到直线 $AB$ 的距离；

（3）直线 $l:x=-3$，抛物线上有一异于点 $A$ 的动点 $P$，$P$ 在直线 $l$ 上的体现为点 $H$，直线 $AP$ 与直线 $l$ 的交点为 $Q$．设在 $P$ 的位置变化过程中，$|HQ|>4$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：根据抛物线标准方程 $y^2=2px=4x$ 可知 $p=2$，准线方程为 $x=-1$。利用抛物线定义，点 $A$ 到准线的距离等于 $x_A+\frac{p}{2}=x_A+1=3$，解出 $x_A$，再代入抛物线方程求出纵坐标 $a$。
2. 第（2）问：当 $a=4$ 时，点 $A$ 坐标为 $(4,4)$。设 $B(b,0)$，利用中点坐标公式表示出 $AB$ 的中点坐标。将中点坐标代入抛物线方程 $y^2=4x$ 中解出 $b$，进而写出直线 $AB$ 的方程，最后利用点到直线距离公式求出原点 $O$ 到直线 $AB$ 的距离。
3. 第（3）问：

• 参数化表达：设 $P\left(\frac{t^2}{4},t\right)$， $A\left(\frac{a^2}{4},a\right)$，其中 $t\ne a$ 且 $a>0$。根据体现定义可知 $H(-3,t)$。
• 求交点 $Q$ 坐标：计算直线 $AP$ 的斜率 $k_{AP}=\frac{4}{t+a}$，写出直线 $AP$ 的方程，令 $x=-3$ 解出交点 $Q$ 的纵坐标 $y_Q$。
• 转化恒成立条件：将线段长度 $|HQ|=|t-y_Q|$ 用参数 $t,a$ 表达，变形整理为一个关于 $t$ 的分式代数式。要使 $|HQ|>4$ 恒成立，只需满足该代数式的绝对值极小值（或下确界）大于 4。由于 $t$ 的正负不确定，需利用基本不等式对分子分母进行因式重组与分情况夹逼。

✅【答案】

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(1) $a=2\sqrt{2}$

(2) $O$ 到直线 $AB$ 的距离为 $\frac{4\sqrt{13}}{13}$

(3) $a$ 的取值范围为 $(0,2)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）若 $A$ 到抛物线 $\Gamma$ 准线的距离为 3，求 $a$ 的值

由抛物线 $\Gamma :y^2=4x$ 可知 $p=2$，其准线方程为 $x=-1$。 设 $A(x_A,a)$，由抛物线定义及已知条件可知，点 $A$ 到准线的距离为： $d=x_A-(-1)=x_A+1=3⟹x_A=2$

将 $x_A=2,y_A=a$ 代入抛物线方程 $y^2=4x$ 得： $a^2=4\times 2=8$ 因为 $a>0$，所以： $a=2\sqrt{2}$

（2）当 $a=4$ 时，求 $O$ 到直线 $AB$ 的距离

当 $a=4$ 时，代入 $y^2=4x$ 得 $x_A=\frac{4^2}{4}=4$，即 $A(4,4)$。 设 $x$ 轴上的点为 $B(b,0)$，则线段 $AB$ 的中点 $M$ 坐标为： $M\left(\frac{b+4}{2},\frac{0+4}{2}\right)=M\left(\frac{b+4}{2},2\right)$

因为中点 $M$ 在抛物线 $\Gamma :y^2=4x$ 上，将 $M$ 的坐标代入方程得： $2^2=4\times \frac{b+4}{2}⟹4=2(b+4)⟹b+4=2⟹b=-2$

故点 $B$ 的坐标为 $(-2,0)$。直线 $AB$ 的斜率为： $k_{AB}=\frac{4-0}{4-(-2)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

由点斜式可得直线 $AB$ 的方程为： $y-0=\frac{2}{3}(x+2)⟹2x-3y+4=0$

原点 $O(0,0)$ 到直线 $AB$ 的距离为： $d=\frac{|2\times 0-3\times 0+4|}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{13}}=\frac{4\sqrt{13}}{13}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线参数化坐标的构造、两点斜率公式的约分化简、利用基本不等式求解分式函数的极值。
2. 核心方法：坐标参数化法、恒成立条件分离最值法。
3. 避坑指南：

• 联立直线代数爆炸：在第（3）问中，切忌使用一般的直线方程 $y=kx+m$ 与抛物线进行繁琐的判别式联立。由于 $P,A$ 均在抛物线上，利用 $y$ 轴分量参数化设点 $P\left(\frac{t^2}{4},t\right)$，在算斜率时可以通过平方差公式直接约去 $(t-a)$，能极大简化计算逻辑。
• 漏掉端点独立检验（最易错点）：使用基本不等式得出 $a<2$ 后，必须单独考查等号成立的边界 $a=2$。因为等号取得的条件是 $t=a$，而题目中限定 $t\ne a$，所以当 $a=2$ 时，其下确界虽然为 4，但由于 $t$ 取不到 2，实际函数值严格大于 4，完全符合题意。若漏掉此处的独立检验，会导致答案漏掉闭区间端点而扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题在高等数学中有深刻的几何背景。第三问中构造的式子 $|HQ|=\left|(t+a)+\frac{a^2+12}{t+a}-2a\right|$，在几何体现和有理分式函数的最值研究中非常经典。本题打破了传统解析几何大题依赖韦达定理强行联立的刻板模式，而是通过点在曲线上的双重代数身份进行“代数参数化”，将解析几何问题简化转化为纯粹的函数单调性与最值控制问题。

2. 结论推广： 对于标准抛物线 $y^2=2px$，在其上给定两相异点 $A(x_1,y_1)$ 和 $P(x_2,y_2)$。过点 $P$ 作定直线 $x=-d(d>0)$ 的垂线，垂足为 $H$；直线 $AP$ 与该定直线交于点 $Q$。则线段 $HQ$ 的长度恒满足以下通性结构关系： $|HQ|=\left|y_2-y_1+\frac{y_1^2+2pd}{y_2+y_1}\right|$ 在本题中， $2p=4⟹p=2$，定直线为 $x=-3⟹d=3$，代入推广公式可直接得到 $|HQ|=\left|t-a+\frac{a^2+4\times 3}{t+a}\right|=\left|t-a+\frac{a^2+12}{t+a}\right|$。这一二级结论揭示了抛物线上任意弦在准线外侧平行割线上所筛选线段长度的普适代数规律。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-10 单-抛物线定义
• 2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义