2023-乙卷理-22 解-极坐标与参数方程

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化。核心在于平面坐标代数转换法（消参与配方）、截距动态平移数形结合法（截距的动态分析）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷理）在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta \left(\frac{\pi }{4}⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}\right)$，曲线 $C_2$: $\{\begin{array}{l}x=2\cos \alpha \\ y=2\sin \alpha \end{array}$（$\alpha$ 为参数，$\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$）．

（1）写出 $C_1$ 的直角坐标方程；

（2）若直线 $y=x+m$ 既与 $C_1$ 没有公共点，也与 $C_2$ 没有公共点，求 $m$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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1. 第一问（方程转化与边界限定）：

   • 极坐标化直角坐标：将 $\rho =2\sin \theta$ 两边同乘 $\rho$，利用 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 和 $\rho \sin \theta =y$ 转化为直角坐标系下的圆的方程。

   • 严格限定范围：题目给定了 $\theta \in [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$，必须利用 $x=\rho \cos \theta$ 和 $y=\rho \sin \theta$ 结合倍角公式，推导出 $x$ 和 $y$ 的确切取值范围，这是本题的一大易错点。

2. 第二问（平移直线与数形结合）：

   • 化简 $C_2$：消去参数 $\alpha$，得到位于第二象限的一段圆弧。

   • 平移直线分析 $C_1$：令 $m=y-x$，求出直线与 $C_1$（第一象限四分之一圆）有公共点时 $m$ 的取值范围（通过端点值判定）。

   • 平移直线分析 $C_2$：求出直线与 $C_2$（第二象限四分之一圆）有公共点时 $m$ 的取值范围（通过相切条件与端点判定）。

   • 求并集的补集：将两者有公共点的 $m$ 的范围求并集，其补集即为“均没有公共点”的范围。

✅【答案】

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(1) $x^2+(y-1{)}^2=1,x\in [0,1],y\in [1,2]$

(2) $(-\infty ,0)\cup (2\sqrt{2},+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $C_1$ 的直角坐标方程

1. 极坐标方程转化为直角坐标方程：

已知曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta$．

等式两边同乘 $\rho$，得 ${\rho }^2=2\rho \sin \theta$．

代入转换公式 $x^2+y^2={\rho }^2,y=\rho \sin \theta$，得：

$x^2+y^2=2y$

配方整理得：

$x^2+(y-1{)}^2=1$

它表示以 $(0,1)$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆．

2. 确定 $x,y$ 的取值范围（极其重要）：

已知 $\frac{\pi }{4}⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}$，则 $2\theta \in [\frac{\pi }{2},\pi ]$．

• 横坐标 $x=\rho \cos \theta =2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$．

  因为 $2\theta \in [\frac{\pi }{2},\pi ]$，所以 $\sin 2\theta \in [0,1]$，即 $x\in [0,1]$．

• 纵坐标 $y=\rho \sin \theta =2{\sin }^2\theta =1-\cos 2\theta$．

  因为 $2\theta \in [\frac{\pi }{2},\pi ]$，所以 $\cos 2\theta \in [-1,0]$，则 $1-\cos 2\theta \in [1,2]$，即 $y\in [1,2]$．

结论：

$C_1$ 的直角坐标方程为 $x^2+(y-1{)}^2=1$，且 $x\in [0,1],y\in [1,2]$．

（2）求 $m$ 的取值范围

1. 确定曲线 $C_2$ 的直角坐标方程及范围：

曲线 $C_2:\{\begin{array}{l}x=2\cos \alpha \\ y=2\sin \alpha \end{array}$，两式平方相加得 $x^2+y^2=4$．

由于 $\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$，则 $x=2\cos \alpha <0$，$y=2\sin \alpha >0$．

故 $C_2$ 表示圆心在原点、半径为 $2$，且位于第二象限（不含端点）的圆弧．

2. 探究直线 $y=x+m$ 与 $C_1$ 有公共点时的 $m$ 范围：

设 $m=y-x$．由于 $C_1$ 为 $x\in [0,1],y\in [1,2]$ 的一段圆弧，

其两个端点分别为 $A(1,1)$ 和 $B(0,2)$．

• 当直线经过点 $A(1,1)$ 时，$m=1-1=0$；

• 当直线经过点 $B(0,2)$ 时，$m=2-0=2$．

  结合图象可知，直线 $y=x+m$ 从点 $A$ 平移到点 $B$ 扫过了整段 $C_1$ 圆弧（且该弧在这两点之间的斜率由 $-\infty$ 变到 $0$，均不等于 $1$，故不会在弧内产生切点）．

  故直线与 $C_1$ 有公共点时，$m\in [0,2]$．

3. 探究直线 $y=x+m$ 与 $C_2$ 有公共点时的 $m$ 范围：

$C_2$ 的两个开端点分别为 $(0,2)$ 和 $(-2,0)$．

• 趋近端点 $(0,2)$ 时，$m\to 2$；

• 趋近端点 $(-2,0)$ 时，$m\to 2$．

  求直线 $x-y+m=0$ 与 $C_2$ 相切的临界状态：

  圆心 $(0,0)$ 到直线的距离 $d=\frac{|m|}{\sqrt{2}}=2⟹|m|=2\sqrt{2}$．

  由于 $C_2$ 在第二象限（直线截距 $m>0$），故切线对应的 $m=2\sqrt{2}$．

  故直线与 $C_2$ 有公共点时，$m\in (2,2\sqrt{2}]$．

4. 综合得出结论：

若直线与 $C_1,C_2$ 任一曲线有公共点，则 $m\in [0,2]\cup (2,2\sqrt{2}]=[0,2\sqrt{2}]$．

若直线与 $C_1,C_2$ 均没有公共点，则 $m$ 必须落在上述区间的补集中．

故 $m<0$ 或 $m>2\sqrt{2}$．

结论：

$m$ 的取值范围是 $(-\infty ,0)\cup (2\sqrt{2},+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标转化为直角坐标时伴生三角函数相位缩放对定义域的硬卡位、参数方程消参转换为标准圆方程、动态直线在圆弧段上的端点临界与切线相交界定。
2. 核心方法：定义域边界互化法、截距平移数形结合法。
3. 避坑指南：

• 第一问遗漏直角坐标的取值定义域范围（全题最惨烈高频失分点）：大量考生仅完成了 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 的配方步骤后就匆忙收笔。必须死记：在极坐标与参数方程大题中，凡是原题对极角 $\theta$ 或参数角 $\alpha$ 带有区间限制的，转化为直角坐标后无条件必须写出对应的 $x$ 或 $y$ 的取值范围！不写范围等同于将局部孤立弧段扩大为了整个圆，第一问不仅会被扣除1-2分的过程分，更会导致第二问由于边界扩大而满盘皆输。
• 第二问忽略了 $C_1$ 段弧内无斜率为 1 的切点特征（潜在逻辑死穴）：在使用端点 $A(1,1)$ 和 $B(0,2)$ 直接圈定 $m\in [0,2]$ 时，在严密逻辑上必须口算校验一下圆的切线斜率为 1 的点（即 $x-y+m=0$ 且距离为 1 的点）是否掉在这段弧内。本题通过口算可知其切点位于第二象限，未对第一象限的 $C_1$ 产生干扰，故可放心使用两端点直接封口。
• 求完范围后忘记求补集：部分考生算出了有交点的范围为 $[0,2\sqrt{2}]$ 后直接作为答案填上。看清题目问的是**“没有公共点”**，必须反向取补集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学选考部分的第22题（坐标系与参数方程专题），属于高考中档难度的压轴送分大题。母题构型根植于人教A版教材《选修4-4》第二章“极坐标方程与参数方程的综合应用”课后大题。命题立意精巧之处在于，人为设计了曲线 $C_1$ 的右端闭边界点 $(0,2)$ 与曲线 $C_2$ 的左端开边界点 $(0,2)$ 在空间上发生无缝拓扑咬合，从而在截距 $m$ 的数轴扫描体现上，无缝拼接成了连续的禁入闭区间 $[0,2\sqrt{2}]$，极具数理逻辑的对称之美。
2. 结论推广： 在平面解析几何与仿射变换中，本题第二问所使用的直线系平移法可以推广为一个通用的**“凸圆弧截距不变量极值定理”**： 设有一条已知圆弧段 $C$。其对应的圆方程为 $x^2+y^2=R^2$。若一根动态斜割线 $Ax+By+m=0$ 绕平面平移。 根据柯西不等式与点到直线距离的对偶性，该直线与圆产生交点的全局截距最高理论（相切临界值）严格由法向量模长与半径乘积控制，且与圆弧的裁剪边界完全分离： $m_{\text{limit}}=\pm R\sqrt{A^2+B^2}$

我们直接套用这一高阶推广模型对本题第二问关于 $C_2$ 的相切临界快速验证： 已知圆弧 $C_2$ 的半径 $R=2$，直线方程为 $x-y+m=0⟹A=1,B=-1$。代入高阶通式： $m=2\times \sqrt{1^2+(-1{)}^2}=2\sqrt{2}$ 无须任何点到直线公式的繁琐展开与分式通分，快速直接锁定切线边界。内化这一圆锥曲线的截距包络模型，可以帮助考生在面对任何多参量、变斜率的解析几何填空选择题时，自发跨越繁琐的联立方程步骤，直接从

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-07 单-极坐标互化
• 2013-新课标II卷理-23 解-圆参数方程
• 2013-重庆卷理-15 填-极坐标互化