2023-天津卷-10 填-复数除法

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及复数的代数表示法。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）已知 $i$ 是虚数单位，化简 $\frac{5+14i}{2+3i}$ 的结果为 ______．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确运算规则： 复数的除法运算，其核心思想是“分母实数化”。

2. 寻找共轭复数： 分母为 $2+3i$，其共轭复数为 $2-3i$。

3. 分子分母同乘： 将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，利用 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ 进行化简。

✅【答案】

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$4+i$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出运算表达式

$\frac{5+14i}{2+3i}=\frac{(5+14i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}$

第二步：分母运算

根据平方差公式及 $i^2=-1$：

$(2+3i)(2-3i)=2^2-(3i{)}^2=4-(-9)=13$

第三步：分子运算

利用分配律展开：

(5+14i)(2-3i) = 5 \times 2 - 5 \times 3i + 14i \times 2 - 14i \times 3i$$$$= 10 - 15i + 28i - 42i^2$$$$= 10 + 13i + 42 = 52 + 13i

第四步：合并化简

$\frac{52+13i}{13}=\frac{52}{13}+\frac{13i}{13}=4+i$

故答案为：$4+i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数四则运算中除法的通用代数法则、共轭复数的概念。
2. 核心方法：共轭复数乘积实数化法。
3. 避坑指南：

• 分母平方差公式符号用错：部分考生容易机械套用实数域的平方差公式，误认为 $(2+3i)(2-3i)=2^2-3^2=4-9=-5$。务必牢记由于 $i^2=-1$ 的存在，复数域中 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$。
• 虚数平方项降次漏掉变号：在分子展开中， $-14i\times 3i=-42i^2$。将 $i^2=-1$ 代入时，符号会变为 $+42$，此处是初学者高频发生负号疏漏的计算盲点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是天津高考卷填空题的开篇第一题，属于无干扰、纯考查运算基本功的“送分题”。母题模型直接来源于人教A版教材《选择性必修第三册》第七章“复数的代数运算”课后基础练习题。命题立意在于通过纯代数数值运算，测试考生对复数域扩展规则最基础的掌控力。
2. 结论推广： 在复数代数运算中，复数的除法结构可以推广为一般化的常数解析通式： $\frac{x_1+y_{1}i}{x_2+y_{2}i}=\frac{(x_1{x}_2+y_1{y}_2)+(x_2{y}_1-x_1{y}_2)i}{x_2^2+y_2^2}(x_2^2+y_2^2\ne 0)$ 在本题中，将 $x_1=5,y_1=14,x_2=2,y_2=3$ 代入该推广公式中：

• 实部为： $\frac{5\times 2+14\times 3}{2^2+3^2}=\frac{10+42}{13}=\frac{52}{13}=4$
• 虚部为： $\frac{2\times 14-5\times 3}{2^2+3^2}=\frac{28-15}{13}=\frac{13}{13}=1$ 直接组装即可得到 $4+i$。熟练掌握或内化此代数结构，可以帮助考生在面对含字母参数的复数除法大题时，实现快速校验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2010-浙江卷文-03 单-复数除法运算
• 2013-广东卷理-03 单-复数除法