2023-新高考I卷-05 单-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的几何性质。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$， $C_2:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的离心率分别为 $e_1,e_2$．若 $e_2=\sqrt{3}{e}_1$，则 $a=$ （ ）

A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由椭圆 $C_2$ 的标准方程得出长、短半轴，计算其离心率的平方 $e_2^2$。
2. 根据 $a>1$ 确定椭圆 $C_1$ 的焦点位置，表示出其离心率的平方 $e_1^2$。
3. 利用已知关系 $e_2=\sqrt{3}{e}_1$ 两边平方得出等式，代入前两步的结果，解方程求出 $a$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算椭圆 $C_2$ 的离心率平方 对于椭圆 $C_2:\frac{x^2}{4}+y^2=1$， 其长半轴平方 $a_2^2=4$，短半轴平方 $b_2^2=1$。 根据离心率公式 $e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$，得： $e_2^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

第二步：表示椭圆 $C_1$ 的离心率平方 对于椭圆 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$， 已知 $a>1$，因此 $a^2>1$，焦点在 $x$ 轴上。 其长半轴平方为 $a^2$，短半轴平方为 $1$。 离心率平方为： $e_1^2=1-\frac{1}{a^2}=\frac{a^2-1}{a^2}$

第三步：建立方程并求解 已知 $e_2=\sqrt{3}{e}_1$，两边同时平方得： $e_2^2=3e_1^2$ 代入前面所得表达式： $\frac{3}{4}=3\times \left(1-\frac{1}{a^2}\right)$ 两边同时除以 $3$： $\frac{1}{4}=1-\frac{1}{a^2}$ 移项得： $\frac{1}{a^2}=\frac{3}{4}⟹a^2=\frac{4}{3}$ 因为 $a>1$，开平方取正值： $a=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

4. 核心考点：椭圆的离心率计算公式 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}$。
5. 核心方法：通过将比例式平方，把带有根号的离心率关系转化为有理代数方程求解。
6. 避坑指南：

• 确定焦点位置：在写出 $C_1$ 的离心率公式前，需利用条件 $a>1$ 明确焦点在 $x$ 轴上，从而确定分母为 $a^2$。若无此条件，则需分类讨论。
• 运算化简：优先使用 $e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$ 建立方程，避免先求半焦距 $c$ 而产生多重根式嵌套，降低计算出错率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查教材中椭圆几何性质（长短轴、离心率）的基础运算，属于常见的参数求解题型。
2. 结论推广：当两个椭圆离心率相等（即 $e_1=e_2$）时，两椭圆形状相似，满足 $\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}$；本题考查的是比例关系，本质依然是通过参数的比值关系建立代数方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2013-大纲卷理-08 单-椭圆性质