2024-上海卷-18 解-对数与数列综合

本题导读

本题考查对数函数的性质。核心在于待定系数法、定义域优先法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）已知 $f(x)={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)$.

（1）若 $y=f(x)$ 图像过点 $(4,2)$，求 $f(2x-2)<f(x)$ 的解集；

（2）若存在 $x$ 使得 $f(x+1)$， $f(ax)$， $f(x+2)$ 成等差数列，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第（1）问：将已知定点 $(4,2)$ 代入解析式，求出底数 $a=2$。由于底数 $a=2>1$，对数函数严格单调递增，解不等式时保持不等号方向不变。同时需遵循定义域优先原则，限制真数项均大于 0，联立不等式组求解。
2. 第（2）问：根据等差中项性质，三数成等差数列等价于 $2f(ax)=f(x+1)+f(x+2)$。套用对数运算性质转化为普通方程 $(ax{)}^2=(x+1)(x+2)$，并由真数大于 0 的条件锁定定义域 $x>0$。利用分离变量法将参数 $a^2$ 隔离，转化为求随动函数 $g(x)=1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}$ 的值域问题。

✅【答案】

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(1) $1<x<2$

(2) $a>1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：求 $f(2x-2)<f(x)$ 的解集

第一步：利用待定系数法求出底数 $a$ 因为函数 $y=f(x)={\log }_{a}x$ 的图象通过点 $(4,2)$，代入可得： ${\log }_{a}4=2⟹a^2=4$ 由于对数函数的底数满足 $a>0$ 且 $a\ne 1$，解得底数： $a=2$ 故该函数的解析式为 $f(x)={\log }_{2}x$。

第二步：列出定义域与单调性约束的不等式组 原不等式 $f(2x-2)<f(x)$ 变形为： ${\log }_2(2x-2)<{\log }_{2}x$ 由于底数 $a=2>1$，对数函数 $y={\log }_{2}x$ 在定义域 $(0,+\infty )$ 上严格单调递增。 去掉对数符号时不等号方向保持不变。结合真数必须严格大于 0 的原则，建立如下不等式组： $\{\begin{array}{l}2x-2>0\\ x>0\\ 2x-2<x\end{array}$

第三步：解不等式组输出答案 解该不等式组可得： $\{\begin{array}{l}x>1\\ x>0\\ x<2\end{array}⟹1<x<2$ 故原不等式的解集为 $(1,2)$．

（2）解：求 $a$ 的取值范围

第一步：利用等差中项性质进行转化 因为 $f(x+1)$， $f(ax)$， $f(x+2)$ 依次成等差数列，根据等差中项的性质满足： $2f(ax)=f(x+1)+f(x+2)$ 将解析式代入等式中： $2{\log }_a(ax)={\log }_a(x+1)+{\log }_a(x+2)$ 利用对数的运算性质合并化简： ${\log }_a(ax{)}^2={\log }_a[(x+1)(x+2)]$

第二步：脱去对数符号并确定定义域界限 两端脱去对数符号，转化为普通的代数方程： $(ax{)}^2=(x+1)(x+2)$ 与此同时，该方程必须满足原对数式的真数约束条件： $\{\begin{array}{l}x+1>0\\ x+2>0\\ ax>0\end{array}$ 由于已知底数 $a>0$，由 $ax>0$ 可得自变量的范围为 $x>0$。 将方程展开并整理： $a^2{x}^2=x^2+3x+2$

第三步：使用分离变量法求值域 由于 $x>0⟹x^2>0$，在方程两端同时除以 $x^2$，将参数 $a^2$ 隔离： $a^2=\frac{x^2+3x+2}{x^2}=1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}$ 构造关于变量 $x$ 的辅助函数： $g(x)=1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}(x>0)$

由于 $x\in (0,+\infty )$，代数式 $\frac{1}{x}\in (0,+\infty )$ 严格单调递减。 由此可知，多项式 $g(x)$ 随着 $x$ 的增大严格单调递减。 对其进行边界逼近分析：

• 当 $x\to 0^{+}$ 时， $\frac{3}{x}\to +\infty$， 故 $g(x)\to +\infty$；
• 当 $x\to +\infty$ 时， $\frac{3}{x}\to 0$ 且 $\frac{2}{x^2}\to 0$， 故 $g(x)\to 1^{+}$。 综上所述，函数 $g(x)$ 在区域 $(0,+\infty )$ 上的连续值域为 $(1,+\infty )$。

第四步：通过存在性有解逻辑输出最终范围 题目要求“存在 $x$ 使得等式成立”，在代数上等价于“参数 $a^2$ 必须落在辅助函数 $g(x)$ 的值域范围内”。 建立不等式： $a^2>1$ 由于底数本身满足 $a>0$ 且 $a\ne 1$，对上式两端开平方取正根解得： $a>1$ 故参数 $a$ 的取值范围为 $(1,+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数真数性质的约束、等差中项的代换、分离变量法在存在性问题中的应用。
2. 核心方法：定义域优先法、函数值域分析法。
3. 避坑指南：

• 忽视真数大于 0 的隐含条件：在第二问脱去对数符号得到 $a^2{x}^2=x^2+3x+2$ 后，必须审查定义域。如果忽略 $x>0$ 的约束，在实数域上该分式的值域将会发生改变，从而导致计算出错误的参数区间。解对数题时，务必优先明确真数大于 0 的条件。
• 混淆存在性与恒成立：
  • 存在性问题（有解） $⟹$ 参数属于函数的值域范围；
  • 全称量词问题（恒成立） $⟹$ 参数需大于最大值或小于最小值。 审题时应分清逻辑方向，避免将存在性有解问题误认为恒成立问题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将等差数列的性质与对数函数的性质相结合，属于高考解答题中的基础代数综合题，侧重考查考生的代数基本功与转化化归能力。
2. 结论推广：由等差性质 $2{\log }_{a}A={\log }_{a}B+{\log }_{a}C$ 衍生出的对数式化简，通常可以化归为二次齐次方程。通过将超越方程转化为代数方程，再利用分式裂项（如本题化为关于 $\frac{1}{x}$ 的二次结构）或判别式法求解，是处理此类函数方程有解问题的通用方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2011-湖北卷文-17 解-等差等比数列
• 2012-福建卷文-17 解-等差等比与古典概型