2024-上海卷-20 解-双曲线综合

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质。核心在于待定系数法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）已知双曲线 $\Gamma :x^2-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$，$A_1,A_2$ 为左右顶点，过点 $M(-2,0)$ 的直线 $l$ 交双曲线 $\Gamma$ 于两点 $P,Q$.

（1）当离心率 $e=2$ 时，求 $b$ 的值；

（2）当 $b=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$△M{A}_{2}P$ 为等腰三角形时，且点 $P$ 在第一象限，求点 $P$ 的坐标；

（3）设直线 $QO$ 交 $\Gamma$ 于点 $R$（$O$ 为坐标原点），若 $\overrightarrow{A_{1}R}\cdot \overrightarrow{A_{2}P}=1$，求 $b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第（1）问：由标准方程易知半实轴 $a=1$。利用离心率通式 $e=\frac{c}{a}=2$ 确定半焦距 $c$，结合双曲线特征平方和关系 $c^2=a^2+b^2$ 求解。
2. 第（2）问：明确两定点坐标为 $M(-2,0)$ 和 $A_2(1,0)$，锁定基长 $|M{A}_2|=3$。设动点 $P(x_0,y_0)$，依据等腰三角形的几何特征展开三类讨论：

• $P{A}_2=PM$：点 $P$ 在线段 $M{A}_2$ 的垂直平分线上，得出横坐标 $x_0=-\frac{1}{2}$，与第一象限条件矛盾；
• $MP=M{A}_2=3$：利用距离公式建立方程，联立双曲线方程消元求出 $x_0$ 并检验；
• $P{A}_2=M{A}_2=3$：利用两点间距离公式建立方程，联立消元求解，卡死第一象限范围输出坐标。

3. 第（3）问：

• 对称性坐标代换：设 $P(x_1,y_1)$， $Q(x_2,y_2)$。由于直线 $QO$ 过原点且与双曲线交于 $Q,R$ 两点，由对称性得 $R(-x_2,-y_2)$。
• 点积关系化简：展开数量积等式 $\overrightarrow{A_{1}R}\cdot \overrightarrow{A_{2}P}=1$，转化为关于坐标乘积和的代数式。
• 参数方程联立：设直线方程为横截式 $x=my-2$，与双曲线方程联立得到关于 $y$ 的一元二次方程，套用韦达定理代入点积控制式，结合判别式与交点存在性限制确定 $b$ 的取值范围。

✅【答案】

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(1) $b=\sqrt{3}$

(2) $P(2,2\sqrt{2})$

(3) $b\in (0,\sqrt{3})\cup (\sqrt{3},\frac{\sqrt{30}}{3}]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：当离心率 $e=2$ 时，求 $b$ 的值

由双曲线标准方程可知，半实轴长 $a=1$。 因为离心率满足： $e=\frac{c}{a}=2⟹c=2$ 根据双曲线中基本量的平方恒等关系： $c^2=a^2+b^2⟹2^2=1^2+b^2⟹b^2=3$ 由于 $b>0$，开平方取正根得： $b=\sqrt{3}$

（2）解：求点 $P$ 的坐标

第一步：确立几何参数 当 $b=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ 时， $b^2=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$。 此时双曲线的方程变形为： $x^2-\frac{3y^2}{8}=1⟹y^2=\frac{8}{3}(x^2-1)$

已知定点 $M(-2,0)$，右顶点 $A_2(1,0)$，线段 $M{A}_2$ 的长度为： $|M{A}_2|=1-(-2)=3$ 设第一象限的动点 $P$ 坐标为 $(x_0,y_0)$，其范围限制为： $x_0>1,y_0>0$。

第二步：针对 $△M{A}_{2}P$ 的边长相等情况分类排查

• 情况 ①：若 $P{A}_2=PM$（以 $M{A}_2$ 为底边） 点 $P$ 必然落在底边线段 $M{A}_2$ 的垂直平分线上。 底边中点横坐标为 $\frac{-2+1}{2}=-\frac{1}{2}$，故中垂线方程为 $x=-\frac{1}{2}$。 即点 $P$ 的横坐标为 $x_0=-\frac{1}{2}$，与点 $P$ 处于第一象限（ $x_0>1$ ）的生存边界产生冲突，此情况舍弃。

• 情况 ②：若 $MP=M{A}_2=3$（以 $P{A}_2$ 为底边） 根据两点间距离公式满足： $(x_0-(-2){)}^2+y_0^2=3^2⟹(x_0+2{)}^2+y_0^2=9$ 将双曲线曲线方程 $y_0^2=\frac{8}{3}(x_0^2-1)$ 代入上式中消去 $y_0$： $(x_0+2{)}^2+\frac{8}{3}(x_0^2-1)=9⟹11x_0^2+12x_0-23=0$ 解得： $(x_0-1)(11x_0+23)=0⟹x_0=1\text{ 或 }{x}_0=-\frac{23}{11}$ 因为 $x_0>1$，若 $x_0=1$，代入双曲线方程可得 $y_0=0$。此时点 $P$ 退化为右顶点 $A_2(1,0)$，使得 $M,A_2,P$ 三点共线，无法构成三角形，此情况舍弃。

• 情况 ③：若 $P{A}_2=M{A}_2=3$（以 $MP$ 为底边） 根据两点间距离公式满足： $(x_0-1{)}^2+y_0^2=3^2⟹(x_0-1{)}^2+y_0^2=9$ 将双曲线曲线方程 $y_0^2=\frac{8}{3}(x_0^2-1)$ 代入上式中消去 $y_0$： $(x_0-1{)}^2+\frac{8}{3}(x_0^2-1)=9⟹11x_0^2-6x_0-32=0$ 通过因式分解化简： $(x_0-2)(11x_0+16)=0⟹x_0=2\text{ 或 }{x}_0=-\frac{16}{11}$ 因为点 $P$ 在第一象限（ $x_0>1$ ），故唯有 $x_0=2$ 成立。 将 $x_0=2$ 代回双曲线解析式中： $y_0^2=\frac{8}{3}(2^2-1)=8⟹y_0=2\sqrt{2}(y_0>0)$

综上讨论，点 $P$ 的坐标为： $(2,2\sqrt{2})$．

（3）解：求 $b$ 的取值范围

第一步：利用对称性转换点积等式 设交点坐标分别为 $P(x_1,y_1)$， $Q(x_2,y_2)$。 因为直线 $QO$ 是通过坐标原点的割线，且其与中心在原点的标准双曲线交于 $Q,R$ 两点。 根据双曲线的轴对称性质，交点 $R$ 与 $Q$ 坐标互为相反数： $R(-x_2,-y_2)$

已知左顶点 $A_1(-1,0)$，右顶点 $A_2(1,0)$。两成分向量坐标表示为： $\overrightarrow{A_{1}R}=(-x_2+1,-y_2),\overrightarrow{A_{2}P}=(x_1-1,y_1)$

将向量代入数量积等式条件 $\overrightarrow{A_{1}R}\cdot \overrightarrow{A_{2}P}=1$ 中展开： $(-x_2+1)(x_1-1)+(-y_2)(y_1)=1⟹-(x_1{x}_2-x_2-x_1+1)-y_1{y}_2=1$ 整理可得核心代数控制式： $x_1{x}_2-(x_1+x_2)+y_1{y}_2=-2\dots \dots (★)$

第二步：联立方程并导出韦达定理 过点 $M(-2,0)$ 的直线 $l$ 的斜率显然不为 0（若斜率为 0，则直线为 $x$ 轴，与双曲线交于顶点，无法满足交于 $P,Q$ 两点）。 采用横截式，设直线 $l$ 的方程为： $x=my-2$

将直线方程代入双曲线标准方程 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中消去变量 $x$： $(my-2{)}^2-\frac{y^2}{b^2}=1⟹\left(m^2-\frac{1}{b^2}\right)y^2-4my+3=0$ 两端同乘 $b^2$： $(b^2{m}^2-1)y^2-4m{b}^{2}y+3b^2=0$

由直线与双曲线交于两个不同点，根据韦达定理关系式满足： $y_1+y_2=\frac{4m{b}^2}{b^2{m}^2-1},y_1{y}_2=\frac{3b^2}{b^2{m}^2-1}$

第三步：将直线结构代入控制盘 $(★)$ 进行整体消元 由于 $x_1=m{y}_1-2,x_2=m{y}_2-2$，将核心等式 $(★)$ 中的 $x$ 变量转化为 $y$ 变量的组合： $x_1{x}_2=(m{y}_1-2)(m{y}_2-2)=m^2{y}_1{y}_2-2m(y_1+y_2)+4$ $x_1+x_2=(m{y}_1-2)+(m{y}_2-2)=m(y_1+y_2)-4$

代回等式 $(★)$ 中： $\left[m^2{y}_1{y}_2-2m(y_1+y_2)+4\right]-\left[m(y_1+y_2)-4\right]+y_1{y}_2=-2$ 归拢同类项可得： $(m^2+1)y_1{y}_2-3m(y_1+y_2)+10=0$

将韦达定理表达式整体回填入上式中： $(m^2+1)\cdot \frac{3b^2}{b^2{m}^2-1}-3m\cdot \frac{4m{b}^2}{b^2{m}^2-1}+10=0$ 两端同时乘以分母 $(b^2{m}^2-1)$： $3b^2(m^2+1)-12b^2{m}^2+10(b^2{m}^2-1)=0$

按 $m^2$ 的合并化简： $b^2{m}^2+3b^2-10=0⟹m^2=\frac{10-3b^2}{b^2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线几何基本量、等腰三角形判定及退化情况检验、中心对称性质的坐标转换、横截式方程联立及韦达定理应用、渐近线斜率与交点存在性约束。
2. 核心方法：分类讨论法（第二问）、设而不求法（第三问）。
3. 避坑指南：

• 等腰三角形的退化点检验：第二问进行分类讨论时，需对三条边分别作为腰的情况进行排查。情况②解出 $x_0=1$ 时，代入抛物线方程会发现 $y_0=0$，此时点 $P$ 与右顶点 $A_2$ 重合，三点共线退化无法构成三角形，必须舍去。
• 避免斜率不存在的讨论：第三问若设直线为 $y=k(x+2)$，需对斜率不存在的情况进行单独代入验证。推荐采用横截式直线方程 $x=my-2$ 进行联立，能直接无损包含所有可能的相交状态。
• 忽略存在性判别式红线：解出 $m^2$ 的代数表达式后，切记要回代判别式 $\Delta >0$ （或利用双曲线渐近线边界限制 $b^2{m}^2-1>0$ ）进行范围终审，防止漏掉由于交点不存在而产生的非法参数区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于圆锥曲线综合大题，考查数形结合思想与代数化简基本功。从基础的基本量求解，到涉及分类讨论的平面几何判定，再到需要利用对称性简化变量的交割最值，层层递进。
2. 结论推广：在中心位于原点的圆锥曲线（双曲线或椭圆）中，“过定点的动弦与过原点的对称割线所派生出的向量点积”构成了一类标准的代数同构化模型。通过引入对称性将点 $R$ 转化为 $-Q$，利用直线代换消去其中一个自变量，其最终的参数方程都会收拢为关于直线斜率平方（ $m^2$ 或 $k^2$ ）的线性式，进而可直接化归为标准的二次方程判别式域问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程
• 2006-江西卷理-21 解-弦长公式与面积最值求解
• 2014-安徽卷理-10 单-坐标表示