2024-北京卷-06 单-正弦函数性质

本题导读

本题考查正弦型函数图象的性质，核心在于将函数最值点间距的几何特征转化为周期的代数关系，进而求出参数 $\omega$.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）设函数 $f(x)=\sin \omega x(\omega >0)$.已知 $f(x_1)=-1$，$f(x_2)=1$，且 $|x_1-x_2|$ 的最小值为 $\frac{\pi }{2}$，则 $\omega =$()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. 明确 $f(x_1)=-1$ 和 $f(x_2)=1$ 分别表示正弦函数的最小、最大值， $|x_1-x_2|$ 的最小值表示相邻最高点与最低点之间的横向距离。
2. 根据正弦函数图象性质，相邻最值点间距为半个周期 $\frac{T}{2}$，由此求出周期 $T$，再由周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 解出 $\omega$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：翻译最值条件 已知函数 $f(x)=\sin \omega x(\omega >0)$，其最大值为 $1$，最小值为 $-1$。 由题意 $f(x_1)=-1$，$f(x_2)=1$ 可知： $x_1$ 是函数取得最小值的自变量取值（最低点横坐标）； $x_2$ 是函数取得最大值的自变量取值（最高点横坐标）。

第二步：结合图象建立周期方程 在正弦曲线中，相邻的最高点与最低点之间的水平距离为半个周期，即 $\frac{T}{2}$。 题目条件给出： $|x_1-x_2|$ 的最小值为 $\frac{\pi }{2}$。“绝对值最小”意味着这两个点在图象上是“紧挨着”的相邻最值点。 因此，可以建立等式： $\frac{T}{2}=\frac{\pi }{2}$ 解得函数的周期： $T=\pi$

第三步：利用周期公式求解参数 由正弦函数的周期公式可知： $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 将 $T=\pi$ 代入公式得： $\frac{2\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =2$

【答案】：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数图象的极值特征与周期公式的应用。
2. 核心方法：数形结合法。通过“文字语言转数学语言”，将极值点的最小横向距离迅速等价于半个周期。
3. 避坑指南：必须牢记正弦型函数的关键点间距特征：相邻最值点间距为 $\frac{T}{2}$，相邻零点与最值点间距为 $\frac{T}{4}$。在考场上切勿因为紧张将本题的极值点间距 $\frac{\pi }{2}$ 误认为整个周期 $T$，从而错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自高中数学教材必修第一册“三角函数的图象与性质”基础概念题，重点考查学生对波浪型图象周期与极值对应关系的直观理解。
2. 结论推广: 对于一般正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$，若存在横坐标 $x_1,x_2$ 使得 $f(x_1)=A+B$ （最大值）且 $f(x_2)=-A+B$ （最小值），则这两个极值点横坐标距离的最小值必定满足 $|x_1-x_2{|}_{\min }=\frac{T}{2}=\frac{\pi }{|\omega |}$。该模型可直接作为快速求解公式记忆。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象
• 2014-上海卷理-01 填-二倍角公式
• 2001-上海卷理-11 填-三角函数的图象与性质