2024-北京卷-12 填-三角函数概念

本题导读

本题考查终边关于原点对称的两个角之间的数量关系，核心在于通过诱导公式将目标三角函数式进行等价化简，并结合区间单调性求解最值.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以 $Ox$ 为始边，它们的终边关于原点对称.若 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$，则 $\cos \beta$ 的最大值为______ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 翻译几何条件：角 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于原点对称，说明它们的终边共线且方向相反，即它们相差平角的奇数倍。由此可得代数关系式 $\beta =\alpha +\pi +2k\pi (k\in \mathbb{Z})$。
2. 运用诱导公式：利用公式 $\cos (\alpha +\pi +2k\pi )=\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha$，将求 $\cos \beta$ 的最值问题成功转化为求 $-\cos \alpha$ 的最值问题。
3. 结合单调性求解：已知 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$，利用余弦函数在第一象限的单调递减性质确定 $\cos \alpha$ 的范围，进而得出 $-\cos \alpha$ 的最大值。

✅【答案】

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$-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据终边对称关系建立代数联系 因为角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 的终边关于原点对称， 所以角 $\beta$ 的终边可以看作是角 $\alpha$ 的终边旋转了平角（ $\pi$ ）的奇数倍得到的。 故存在整数 $k\in \mathbb{Z}$，使得： $\beta =\alpha +\pi +2k\pi$

第二步：利用诱导公式化简目标式 根据终边相同的角的三角函数值相等，以及诱导公式 $\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$ 可得： $\cos \beta =\cos (\alpha +\pi +2k\pi )=\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha$

第三步：结合已知区间求函数最值 已知 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right]$。 因为余弦函数 $y=\cos x$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递减， 所以当 $\alpha$ 在给定区间内变化时，有： $\cos \frac{\pi }{3}⩽\cos \alpha ⩽\cos \frac{\pi }{6}⟹\frac{1}{2}⩽\cos \alpha ⩽\frac{\sqrt{3}}{2}$ 不等式各边同时乘以 $-1$（注意不等号方向发生反转）： $-\frac{\sqrt{3}}{2}⩽-\cos \alpha ⩽-\frac{1}{2}$ 由于 $\cos \beta =-\cos \alpha$，所以 $\cos \beta$ 的取值范围为 $\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right]$。 当且仅当 $\alpha =\frac{\pi }{3}$ 时， $\cos \beta$ 取得最大值 $-\frac{1}{2}$。

【答案】：$-\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：终边对称角的代数表示、诱导公式保号律、余弦型函数的区间单调性。
2. 核心方法：转化与化归思想。将难以直接求解的 $\beta$ 变量通过几何位置关系强行拆解、桥接，统一化归为研究已知变量 $\alpha$ 的函数性质。
3. 避坑指南：

• 负号引发的极性反转：由 $\cos \alpha$ 的范围推导 $-\cos \alpha$ 的范围时，乘上负号必须改变不等号方向。考场上极易由于粗心直接写出最大值为 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的错误答案。
• 几何直观验证：若对代数运算没把握，可在草图上画出 $\alpha$ 所在的第一象限扇形区域，将其关于原点对称到第三象限，得到 $\beta$ 对应在 $\left[\frac{7\pi }{6},\frac{4\pi }{3}\right]$ 的区域。在第三象限，横坐标越靠右（越接近 $y$ 轴）余弦值越大，显然当 $\beta =\frac{4\pi }{3}$ 时最靠右，其余弦值为 $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$．

📖 【试题探源与推广】

1. 试题探源: 本题源自教材必修第一册第五章《三角函数》中任意角与诱导公式的综合探究题，重点考查代数恒等变形与数形结合的核心素养。
2. 结论推广: （角终边位置对称性的代数关系统合网络，设两角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$ ， $k\in \mathbb{Z}$ ）：

• 关于原点对称（或共线反向）： $\beta =\alpha +\pi +2k\pi$ $⟹$ $\cos \beta =-\cos \alpha ,\sin \beta =-\sin \alpha$
• 关于 $x$ 轴对称： $\beta =-\alpha +2k\pi$ $⟹$ $\cos \beta =\cos \alpha ,\sin \beta =-\sin \alpha$
• 关于 $y$ 轴对称： $\beta =\pi -\alpha +2k\pi$ $⟹$ $\cos \beta =-\cos \alpha ,\sin \beta =\sin \alpha$
• 关于直线 $y=x$ 对称： $\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha +2k\pi$ $⟹$ $\cos \beta =\sin \alpha ,\sin \beta =\cos \alpha$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-07 单-三角图象交点
• 2009-四川卷文-04 单-三角性质判断
• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象