2024-天津卷-08 单-双曲线标准方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及双曲线的焦点三角形。

📌【题干】

Question

（2024年天津卷）已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1$、 $F_2$. $P$ 是双曲线右支上一点，且直线 $P{F}_2$ 的斜率为 2， $△P{F}_1{F}_2$ 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为 (　　)

A. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}=1$　　B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$　　C. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{8}=1$　　D. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直角顶点位置判定：$△P{F}_1{F}_2$ 是直角三角形，直角可能在 $F_1,F_2$ 或 $P$ 处。若 $\angle P{F}_1{F}_2=90^{\circ }$ 或 $\angle P{F}_2{F}_1=90^{\circ }$，由于 $F_1,F_2$ 连线在 $x$ 轴上，说明 $P{F}_1$ 或 $P{F}_2$ 垂直于 $x$ 轴（斜率不存在），这与已知“直线 $P{F}_2$ 的斜率为 2”矛盾。因此直角顶点必为 $P$，即 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$。
2. 确定解题路径：

• 路径一（几何法）：直线 $F_1{F}_2$ 为 $x$ 轴。直线 $P{F}_2$ 斜率为 2，且过右焦点 $F_2(c,0)$。由于点 $P$ 处于双曲线右支，且斜率为正，点 $P$ 位于第四象限。此时在 $\text{Rt}△P{F}_1{F}_2$ 中，内角 $\angle P{F}_2{F}_1$ 的正切值满足 $\tan \angle P{F}_2{F}_1=|k_{P{F}_2}|=2$，可得出两条直角边的比例关系，结合面积求出边长。
• 路径二（代数法）：因为 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，动点 $P$ 必然落在以焦距 $F_1{F}_2$ 为直径的圆 $x^2+y^2=c^2$ 上。与直线方程 $y=2(x-c)$ 联立，用焦距 $c$ 表示点 $P$ 的坐标，进而通过面积方程解出 $c^2$。

1. 结合定义求解：求得两焦半径 $|P{F}_1|$ 与 $|P{F}_2|$ 的长度后，利用双曲线定义 $2a=|P{F}_1|-|P{F}_2|$ 求出 $a^2$，再通过 $b^2=c^2-a^2$ 确定最终方程。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：几何性质转换法（推荐）

第一步：判定点 $P$ 的象限位置与直角结构 由思路分析可知，$\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$。 两焦点为 $F_1(-c,0)$， $F_2(c,0)$，所在的直线为 $x$ 轴。动点 $P$ 在双曲线右支上（横坐标 $x_P⩾a$）。直线 $P{F}_2$ 通过定点 $F_2(c,0)$ 且斜率为 $2>0$。为了使斜率为 2 的直线与右支相交，点 $P$ 必须位于第四象限（即 $y_P<0$）。

第二步：利用斜率转化三角形边长比例 此时，直线 $P{F}_2$ 与 $x$ 轴在第四象限所夹的锐角为三角形的内角 $\angle P{F}_2{F}_1$。 根据斜率的几何意义，该内角的正切值等于斜率的绝对值： $\tan \angle P{F}_2{F}_1=|k_{P{F}_2}|=2$

在 $\text{Rt}△F_{1}P{F}_2$ 中，根据三角函数定义： $\tan \angle P{F}_2{F}_1=\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}=2⟹|P{F}_1|=2|P{F}_2|$ 设邻边 $|P{F}_2|=m(m>0)$，则对边长度为 $|P{F}_1|=2m$。

第三步：结合面积与勾股定理求解核心几何量 由于 $△P{F}_1{F}_2$ 是以 $P$ 为直角顶点的直角三角形，其面积公式为： $S_{△P{F}_1{F}_2}=\frac{1}{2}|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=\frac{1}{2}\times 2m\times m=m^2$ 已知面积为 8，建立方程： $m^2=8⟹m=2\sqrt{2}$

由此得出两焦半径的长度： $|P{F}_2|=2\sqrt{2},|P{F}_1|=4\sqrt{2}$

在 $\text{Rt}△F_{1}P{F}_2$ 中，利用勾股定理求出底边焦距 $|F_1{F}_2|=2c$ 的平方： $(2c{)}^2=|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2⟹4c^2=(4\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2=32+8=40$ 解得半焦距平方： $c^2=10$

第四步：套用第一定义输出方程 根据双曲线定义（右支上的点到两焦点的距离之差等于实轴长）： $2a=|P{F}_1|-|P{F}_2|=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}⟹a=\sqrt{2}⟹a^2=2$ 利用双曲线基本量的平方关系求出虚轴平方 $b^2$： $b^2=c^2-a^2=10-2=8$

将 $a^2=2,b^2=8$ 代入标准方程，得到： $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{8}=1$

方法二：通性代数坐标建标联立法

因为 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，由直径圆定理可知，直角顶点 $P(x,y)$ 必然落在以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆上： $x^2+y^2=c^2\dots \dots \text{(1)}$ 过右焦点 $F_2(c,0)$ 且斜率为 2 的直线方程为： $y=2(x-c)\dots \dots \text{(2)}$

将方程②代入方程①中消去变量 $y$： $x^2+[2(x-c){]}^2=c^2⟹5x^2-8cx+3c^2=0$ 因式分解得： $(5x-3c)(x-c)=0⟹x=c(\text{舍去，此为焦点 }{F}_2)\text{或}x=\frac{3}{5}c$

将横坐标 $x=\frac{3}{5}c$ 代入方程②中求出纵坐标： $y=2\left(\frac{3}{5}c-c\right)=-\frac{4}{5}c$ 得到点 $P$ 用焦距参数 $c$ 表示的坐标： $P\left(\frac{3}{5}c,-\frac{4}{5}c\right)$。

套用距离公式，求出两焦半径关于 $c$ 的代数表达式： $|P{F}_2|=\sqrt{{\left(\frac{3}{5}c-c\right)}^2+{\left(-\frac{4}{5}c-0\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}c$ $|P{F}_1|=\sqrt{{\left(\frac{3}{5}c-(-c)\right)}^2+{\left(-\frac{4}{5}c-0\right)}^2}=\frac{4\sqrt{5}}{5}c$

代入直角三角形面积公式中： $S=\frac{1}{2}|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=\frac{1}{2}\times \frac{4\sqrt{5}}{5}c\times \frac{2\sqrt{5}}{5}c=\frac{4}{5}{c}^2$ 因为已知面积为 8， 故 $\frac{4}{5}{c}^2=8⟹c^2=10$。

代回距离式中化简： $|P{F}_2|=\frac{2\sqrt{5}}{5}\times \sqrt{10}=2\sqrt{2},|P{F}_1|=\frac{4\sqrt{5}}{5}\times \sqrt{10}=4\sqrt{2}$ 后续根据第一定义推导 $a^2=2,b^2=8$ 的步骤与方法一相同。

故选：C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线第一定义、焦点三角形直角顶点的排查排除、利用直线斜率确立直角三角形的边长比例。
2. 核心方法：解直角三角形几何法、直径圆联立代数法。
3. 避坑指南：

• 错判直角顶点位置：通过“斜率存在”这一条件，可以将直角在焦点 $F_1$ 或 $F_2$ 的情况排除，锁定直角顶点必为 $P$，防止列出错误的几何方程。
• 忽视象限导致几何符号错配：确定点 $P$ 的位置时，需结合双曲线右支的形态与正斜率特征，明确点 $P$ 必须在第四象限，从而保证几何分析的严密性。
• 巧用焦点三角形面积公式：本题中因 $\angle P=90^{\circ }$，在选择题中可直接套用双曲线焦点三角形面积的通用公式 $S=\frac{b^2}{\tan \frac{\theta }{2}}$（其中 $\theta$ 为顶角）。代入 $\theta =90^{\circ }$ 可得 $S=\frac{b^2}{\tan 45^{\circ }}=b^2$。由于已知 $S=8$，可直接得出 $b^2=8$，从而精简计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查双曲线焦点三角形的几何性质，属于解析几何中的经典中高档选择题，重在测试数形结合能力与公式的灵活运用。
2. 结论推广：在双曲线焦点三角形的性质推导中，面积公式 $S=\frac{b^2}{\tan \frac{\theta }{2}}$ 具有通用性。利用该公式，在确定顶角 $\theta$ 的大小后，可直接建立面积与虚轴参数 $b^2$ 的代数关联，实现对标准方程参数的快速锁定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程
• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程
• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程