2024-天津卷-18 解-椭圆综合

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于待定系数法（椭圆几何量互译）、设而不求联立消元法（直线与椭圆交点）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2024年天津卷）已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\frac{1}{2}$，左顶点为 $A$，下顶点为 $B$， $C$ 是线段 $OB$ 的中点，其中 $△ABC$ 的面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

（1）求椭圆方程；

（2）过点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P,Q$，在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}⩽0$ 恒成立.若存在，求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ 得出 $a=2c$，通过椭圆内在关系 $b^2=a^2-c^2$ 统一将所有的几何轴长参数化转换为关于半焦距 $c$ 的代数项。写出顶点坐标，由 $C$ 为 $OB$ 中点，在直角坐标系下将 $△ABC$ 的面积直接由底高公式 $S=\frac{1}{2}|OA|\cdot |OC|$ 展开，从而解出 $c^2$，锁定标准方程。
2. 第（2）问：

• 斜率不存在分类：动直线由于围绕定点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 旋转，必须先对斜率不存在（垂直于 $x$ 轴）的极限状态进行清点，确定一层初步的边界范围。
• 一般性联立：设出通用直线方程 $y=kx-\frac{3}{2}$，与椭圆方程联立消去 $y$ 项。引入韦达定理机制，表示出两根之和 $x_1+x_2$ 与两根之积 $x_1{x}_2$ 的代数式。
• 点积代数化简：设目标点 $T(0,t)$，将向量积 $\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}⩽0$ 利用坐标分量公式翻译为 $x_1{x}_2+(y_1-t)(y_2-t)⩽0$。将 $y=kx-\frac{3}{2}$ 注入消去 $y$，把韦达定理成果通分填入，使其整理为关于自变量 $k^2$ 的分式不等式。
• 整体换元与系数控制：通过整体换元，将分子表达式精简。要让分式多项式对任意斜率 $k$ 恒小于等于 0，由于分母恒正，分子多项式中的特征系数必须同时满足非正约束，从而求出交集范围。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$

(2) 存在，$-3\le t\le \frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：求椭圆方程

已知椭圆的离心率满足： $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}⟹a=2c$ 套用椭圆基本量关系公式： $b^2=a^2-c^2=(2c{)}^2-c^2=3c^2⟹b=\sqrt{3}c$

由此，写出椭圆各顶点的坐标：

• 左顶点 $A$ 坐标为： $A(-a,0)=A(-2c,0)$
• 下顶点 $B$ 坐标为： $B(0,-b)=B(0,-\sqrt{3}c)$

由于点 $C$ 是线段 $OB$ 的中点（ $O$ 为原点），故点 $C$ 的纵坐标为： $C\left(0,-\frac{\sqrt{3}c}{2}\right)$

在直角坐标系中，线段 $OA$ 位于 $x$ 轴上，长度 $|OA|=2c$；线段 $OC$ 位于 $y$ 轴上，长度 $|OC|=\frac{\sqrt{3}c}{2}$。由于 $x$ 轴与 $y$ 轴垂直， $△ABC$ 的面积可以直接表示为： $S_{△ABC}=S_{△AOC}=\frac{1}{2}\times |OA|\times |OC|=\frac{1}{2}\times 2c\times \frac{\sqrt{3}c}{2}=\frac{\sqrt{3}{c}^2}{2}$

题目给出面积大小为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$，建立代数方程： $\frac{\sqrt{3}{c}^2}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}⟹c^2=3$

将其回填求出各轴长平方数： $a^2=4c^2=4\times 3=12,b^2=3c^2=3\times 3=9$ 故椭圆的标准方程为： $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$

（2）解：求 $T$ 点纵坐标的取值范围

设目标点为 $T(0,t)$，动直线与椭圆交的两点坐标分别为 $P(x_1,y_1)$ 与 $Q(x_2,y_2)$． 该动直线恒过定点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$，对直线状态实施分类讨论：

• 📐 状态①：当动直线的斜率不存在时 此时该直线垂直于 $x$ 轴，过定点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的直线方程为： $x=0(\text{即 }y\text{ 轴})$ 将 $x=0$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$ 中，求出其与椭圆的两个交点： $y^2=9⟹y=\pm 3⟹P(0,3),Q(0,-3)$

现在表示两向量的点积： $\overrightarrow{TP}=(0,3-t),\overrightarrow{TQ}=(0,-3-t)$ 套用点积坐标公式并令其满足非正条件（ $⩽0$ ）： $\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}=0\times 0+(3-t)(-3-t)⩽0$ $-(3-t)(3+t)⩽0⟹t^2-9⩽0⟹-3⩽t⩽3\dots \dots \text{约束边界一}$

• 📐 状态②：当动直线的斜率存在时 设该动直线的方程为： $y=kx-\frac{3}{2}$

将椭圆标准方程两端乘以 36 化简为一般式： $3x^2+4y^2=36$． 组建联立方程组： $\{\begin{array}{l}y=kx-\frac{3}{2}\\ 3x^2+4y^2=36\end{array}$ 将直线方程代入椭圆方程中： $3x^2+4{\left(kx-\frac{3}{2}\right)}^2=36$ 展开完全平方式并合并多项式： $3x^2+4\left(k^2{x}^2-3kx+\frac{9}{4}\right)=36$ $(3+4k^2)x^2-12kx-27=0$

排查该二次方程的根的判别式 $\Delta$： $\Delta =(-12k{)}^2-4\times (3+4k^2)\times (-27)=144k^2+108(3+4k^2)=576k^2+324$ 由于对任意实数斜率均有 $k^2⩾0$，故 $\Delta ⩾324>0$ 恒成立，两相异交点存在． 此时，写出韦达定理关系式： $x_1+x_2=\frac{12k}{3+4k^2},x_1{x}_2=-\frac{27}{3+4k^2}\dots \dots \text{韦达基本盘}$

现在，对几何不等式 $\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}⩽0$ 展开坐标化翻译． 已知 $T(0,t)$，则 $\overrightarrow{TP}=(x_1,y_1-t)$， $\overrightarrow{TQ}=(x_2,y_2-t)$． $\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}=x_1{x}_2+(y_1-t)(y_2-t)⩽0$

由于交点在直线上，将纵坐标进行线性替代： $y_1=k{x}_1-\frac{3}{2}$， $y_2=k{x}_2-\frac{3}{2}$。引入整体代换，设常数项复合元 $m=-\left(t+\frac{3}{2}\right)$，则直线纵坐标简记为 $y=kx+m$． 代入点积式中展开： $\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}=x_1{x}_2+(k{x}_1+m)(k{x}_2+m)$ $=(1+k^2)x_1{x}_2+km(x_1+x_2)+m^2$

将韦达定理代入： $\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}=(1+k^2)\left(-\frac{27}{3+4k^2}\right)+km\left(\frac{12k}{3+4k^2}\right)+m^2$ 进行通分，将分母统一为 $(3+4k^2)$： $\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}=\frac{-27(1+k^2)+12m{k}^2+m^2(3+4k^2)}{3+4k^2}$ 对分子进行关于自变量 $k^2$ 的同类项重组： $\text{分子}=-27-27k^2+12m{k}^2+3m^2+4m^2{k}^2=(4m^2+12m-27)k^2+(3m^2-27)$

题目要求该向量积在整个实数域上恒小于等于 0： $\frac{(4m^2+12m-27)k^2+(3m^2-27)}{3+4k^2}⩽0$

因为对任意实数 $k$，分母恒满足 $3+4k^2⩾3>0$，因此要让整个分式恒为非正，等价于要求分子多项式对任意 $k\in \mathbb{R}$ 均满足小于等于 0： $(4m^2+12m-27)k^2+(3m^2-27)⩽0\text{恒成立}$

由于自变量项 $k^2\in [0,+\infty )$，要让一个关于 $k^2$ 的一次多项式恒小于等于 0，其斜率系数必须为非正，且截距常数项也必须同步满足非正． 建立不等式组： $\{\begin{array}{ll}4m^2+12m-27⩽0& \dots \dots \text{不等式i}\\ 3m^2-27⩽0& \dots \dots \text{不等式ii}\end{array}$

• 解不等式i： 因式分解得： $(2m-3)(2m+9)⩽0⟹-\frac{9}{2}⩽m⩽\frac{3}{2}$
• 解不等式ii： 两端同时除以 3： $m^2-9⩽0⟹-3⩽m⩽3$

解得： $-3⩽m⩽\frac{3}{2}$

最后，将 $m=-\left(t+\frac{3}{2}\right)$ 代入： $-3⩽-\left(t+\frac{3}{2}\right)⩽\frac{3}{2}⟹-\frac{3}{2}⩽t+\frac{3}{2}⩽3⟹-3⩽t⩽\frac{3}{2}\dots \dots \text{约束边界二}$

• 📐 最终合并 综合状态①的约束边界一（ $[-3,3]$ ）与状态②的约束边界二（ $\left[-3,\frac{3}{2}\right]$ ），对两种情况取交集． 最终确定：在 $y$ 轴上存在满足条件的点 $T$，其纵坐标 $t$ 的取值范围锁定为： $t\in \left[-3,\frac{3}{2}\right]$

【答案】：存在满足条件的点 $T$，其纵坐标 $t$ 的取值范围是 $\left[-3,\frac{3}{2}\right]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用几何性质求解椭圆参数、直线与椭圆方程联立消元、韦达定理在点积多项式中的代换、二次式全域恒成立的系数控制．
2. 核心方法：设而不求代数化归法、参数整体换元法、系数配平卡位法．
3. 避坑指南：

• 极限情况出现思维漏判：在处理过定点 $\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ 的动直线时，默认直线方程为 $y=kx-\frac{3}{2}$ 会漏掉斜率不存在（ $x=0$ ）这一特殊状态的独立讨论。在高考解答题的分步判分中，缺乏这一步分类属于逻辑残缺，会造成扣分．
• 多项式化简失误：本题第二问的代数化简要求较高，在通分合并 $k^2$ 前方的系数时，若直接带着 $t$ 展开，分子中会产生较多交叉相乘项，容易发生计算错误。建议采用“整体换元法”，先将常数项用单字母 $m$ 替代，等系数控制不等式解完后再回填 $t$ 求解．

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题作为圆锥曲线压轴题，考查直线与椭圆位置关系的综合运用。将向量数量积性质与一元二次方程恒成立相结合，侧重考查代数结构转化与运算能力控制．
2. 结论推广：在解析几何中， $\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}⩽0$ 意味着动点 $T$ 对两交点 $P,Q$ 所张开的视角 $\angle PTQ$ 为钝角或直角。在几何位形上，等价于动点 $T$ 落在以弦长 $PQ$ 为直径的随动圆内部或圆周上。处理此类问题的通用路径是通过联立消元与韦达定理代换，将几何关系转化为分式多项式，最终通过分子各项系数的卡位控制确定参数范围．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷理-10 单-坐标表示
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量