2024-新高考II卷-05 单-相关点法

本题导读

本题考查求曲线的轨迹方程，以及中点坐标公式。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）已知曲线 $C:x^2+y^2=16$ ($y>0$)，从 $C$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线 $P{P}^{\prime }$，$P^{\prime }$ 为垂足，则线段 $P{P}^{\prime }$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为（ ）

A. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ ($y>0$)　　　　　B. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$ ($y>0$)

C. $\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$ ($y>0$)　　　　　D. $\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{8}=1$ ($y>0$)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设点与定位：设要求轨迹的动点为 $M(x,y)$，已知点（相关点）为 $P(x_0,y_0)$。
2. 建立几何关系：根据 $P{P}^{\prime }\perp x$ 轴且 $M$ 为 $P{P}^{\prime }$ 中点，可以确定 $P^{\prime }$ 的坐标为 $(x_0,0)$，进而推导出 $M$ 与 $P$ 的坐标转换关系。
3. 坐标代换：用 $M$ 的坐标 $x,y$ 表示出 $P$ 的坐标 $x_0,y_0$。
4. 方程转化：将表示出的 $x_0,y_0$ 代入已知曲线 $C$ 的方程 $x^2+y^2=16$ 中，整理即得 $M$ 的轨迹方程。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设点并建立转换关系 设动点 $M$ 的坐标为 $(x,y)$，点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$ 因为 $P$ 向 $x$ 轴作垂线且垂足为 $P^{\prime }$，所以 $P^{\prime }$ 的坐标为 $(x_0,0)$ 又因为 $M$ 是线段 $P{P}^{\prime }$ 的中点，由中点坐标公式得： $x=x_0$ 且 $y=\frac{y_0+0}{2}=\frac{y_0}{2}$

第二步：用动点坐标表示相关点 由上述关系可反得： $x_0=x$ $y_0=2y$

第三步：代入已知曲线方程 已知点 $P(x_0,y_0)$ 在曲线 $C:x^2+y^2=16$ ($y>0$) 上， 将 $x_0=x$，$y_0=2y$ 代入方程得： $x^2+(2y{)}^2=16$ 整理得：$x^2+4y^2=16$

第四步：化为标准方程并确定范围 方程两边同时除以 $16$： $\frac{x^2}{16}+\frac{4y^2}{16}=1⟹\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 由于原曲线限制 $y_0>0$，且 $y=\frac{y_0}{2}$，故 $y>0$

故选：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用相关点法（代入转移法）求解动点轨迹方程、平面直角坐标系中点公式的逆向分离、曲线方程定义域范围的同步映射。
2. 核心方法：相关点代入转移流。在解析几何客观题中，当题目中出现“一个主动点 $P$ 落在已知曲线上，另一个被动点 $M$ 随着 $P$ 的运动而运动，且两点间具有的几何关系（如中点、定比分点、对称点）”时，最核心的第一反应是相关点法。基本程序是：①设被动点为 $(x,y)$，主动点为 $(x_0,y_0)$；②用被动点反写主动点；③整体代入原曲线方程。这一套解题流程能够无视任何繁琐的作图，直接实现代数简化。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（新旧变元转换时方向记反）：部分同学在建立关系后，容易粗心把 $y_0=2y$ 错写为 $y=2y_0$，导致代入后写出 $x^2+\frac{y^2}{4}=16⟹\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{64}=1$ 的灾难性错误方程。务必牢记：是用要求的未知新变量去表出已知的旧变量，然后再代入。
• 避坑指南 2（遗漏范围限制或算错边界）：个别考生在大题或多选题中容易漏掉 $y>0$ 这一关键尾巴。虽然本题四个选项全部贴心地挂上了 $(y>0)$ 这一补丁，未在此处设卡，但在更严苛的填空题或综合多选题中，定义域的缺失属于原则性逻辑漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中“椭圆的标准方程”引入部分的经典母题（即“圆的伸缩变换”）。教材中正是通过将圆上的纵坐标等比例压缩，从而在几何上正式宣告了椭圆的诞生。新高考命题组去除了晦涩的繁琐计算，回归这一最古朴的几何起源，旨在考查考生对二次曲线生成机理的通达度。
2. 结论推广: 将此类“圆周运动引发的中点或定比分点轨迹”提炼为一般模型：

• 设已知基准圆的方程为 $x^2+y^2=R^2(y>0)$，动点 $P$ 在圆周上。
• 若动点 $M$ 满足 $\overrightarrow{P^{\prime }M}=\lambda \overrightarrow{P^{\prime }P}$（即纵坐标被进行倍率 $\lambda$ 的缩放，本题中中点对应 $\lambda =\frac{1}{2}$ ）。
• 则随着 $P$ 的游走，被动点 $M$ 的轨迹方程恒为如下规整的同构椭圆范围内： $\frac{x^2}{R^2}+\frac{y^2}{{\lambda }^2{R}^2}=1(y>0)$
• 本题中 $R=4,\lambda =\frac{1}{2}$。代入本题数据验证：分母分别为 $R^2=16$ 和 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2\times 16=4$，可快速判断方程必为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1(y>0)$。掌握这一“仿射变形网络”，未来在任何模拟考上均可达成快速求解。

1. 方法推广: 本题所展现的“通过引入中间工具元建立坐标映射、实现隐式代数整式整体置换”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是高二解析几何客观题的常用方法，未来在选择性必修第三册中的“利用分布列均值不变量进行期望与方差的线性变换（如 $E(2X+1)=2E(X)+1$ ）”、或者是新定义大题中的“离散点集的坐标矩阵平移控制”时，其核心思路——“抓住核心的不变量映射链条，通过反解变量实现多元向一元方程的化归”。掌握这一方法，考场上遇到同类问题便能从容应对。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷理-03 单-圆参数方程
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理