2024-甲卷文-11 单-线面角

本题导读

本题考查空间直线与平面的位置关系，以及线面平行的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷文）已知 $\alpha ,\beta$ 是两个平面，$m,n$ 是两条直线，$\alpha \cap \beta =m$.下列四个命题：

① 若 $m\parallel n$，则 $n\parallel \alpha$ 或 $n\parallel \beta$；

② 若 $m\perp n$，则 $n\perp \alpha$ 或 $n\perp \beta$；

③ 若 $n\parallel \alpha$ 且 $n\parallel \beta$，则 $m\parallel n$；

④ 若 $n$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 所成的角相等，则 $m\perp n$.

其中，所有真命题的编号是（ ）

A. ①③　　　　　　B. ②③　　　　　　C. ①②③　　　　　　D. ①③④

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题①：已知直线 $n$ 平行于交线 $m$。根据线面平行的判定定理，分 $n$ 是否在平面内讨论，结合“或”逻辑进行判定。
2. 分析命题②：线线垂直属于空间中的弱约束条件。可通过将直线 $n$ 安置在其中一个平面内且垂直于交线，尝试构造不垂直于平面的反例。
3. 分析命题③：一条直线若同时平行于两个相交平面，根据线面平行的性质定理组合，可判定其与交线的位置关系。
4. 分析命题④：线面角相等代表一种对称姿态。考虑最特殊的平行状态：当 $n\parallel m$ 时， $n$ 与两相交平面所成的角均为 $0^{\circ }$，以此检验结论是否成立。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

① 判定命题 ① 为真命题 已知 $\alpha \cap \beta =m$，且 $m\parallel n$。对直线 $n$ 与平面的位置关系进行分类讨论：

• 若 $n\not\subset \alpha$ 且 $n\not\subset \beta$：因为 $m\parallel n$ 且 $m\subset \alpha$，由线面平行判定定理得 $n\parallel \alpha$。同理，由 $m\parallel n$ 且 $m\subset \beta$ 得 $n\parallel \beta$。此时“或”逻辑成立；

• 若 $n\subset \alpha$：根据线面平行判定定理，由 $m\parallel n$ 且 $m\subset \beta$ 可得 $n\parallel \beta$。由于 $n\parallel \beta$ 成立，满足“ $n\parallel \alpha$ 或 $n\parallel \beta$”的条件。 同理，若 $n\subset \beta$，可得 $n\parallel \alpha$，同样满足条件。 综上所述，命题 ① 为真命题。

② 判定命题 ② 为假命题 线线垂直 $m\perp n$ 无法直接推导出线面垂直。 构造反例：设平面 $\alpha \perp \beta$，其交线为 $m$。在平面 $\alpha$ 内作一条垂直于交线 $m$ 的直线 $n$（即 $n\subset \alpha$ 且 $n\perp m$）。 此时，满足条件 $m\perp n$。但从线面位置来看：因为 $n\subset \alpha$，直线 $n$ 不垂直于平面 $\alpha$；而由面面垂直的性质定理可知直线 $n\perp \beta$。满足“ $n\perp \alpha$ 或 $n\perp \beta$”，看似成立。 但若 $\alpha$ 与 $\beta$ 不垂直（例如成 $60^{\circ }$ 夹角），在平面 $\alpha$ 内同样作 $n\perp m$，此时 $n$ 既不垂直于 $\alpha$，也不垂直于 $\beta$。因此，命题 ② 为假命题。

③ 判定命题 ③ 为真命题 证明：因为 $n\parallel \alpha$，由线面平行的性质定理，经过直线 $n$ 作一个辅助平面 ${\gamma }_1$ 与平面 $\alpha$ 相交于直线 $a$，则有 $n\parallel a$。 同理，因为 $n\parallel \beta$，经过直线 $n$ 作另一个辅助平面 ${\gamma }_2$ 与平面 $\beta$ 相交于直线 $b$，则有 $n\parallel b$。 根据空间平行线的传递性，由 $a\parallel n$ 且 $b\parallel n$ 可得 $a\parallel b$。 因为 $a\parallel b$ 且 $b\subset \beta$，所以 $a\parallel \beta$。 又因为 $a\subset \alpha$，且 $\alpha \cap \beta =m$，根据线面平行的性质定理，可得 $a\parallel m$。 再次利用平行线的传递性，由 $n\parallel a$ 且 $a\parallel m$，可得 $m\parallel n$。因此，命题 ③ 为真命题。

④ 判定命题 ④ 为假命题 构造反例：让直线 $n$ 与两个平面的交线 $m$ 保持平行，即 $n\parallel m$。 因为交线 $m$ 满足 $m\subset \alpha$ 且 $m\subset \beta$，当直线 $n\parallel m$ 时，直线 $n$ 满足 $n\parallel \alpha$ 且 $n\parallel \beta$（或在平面内）。 此时，直线 $n$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $0^{\circ }$，与平面 $\beta$ 所成的角也为 $0^{\circ }$，两相交角相等。 但此时 $n\parallel m$，与结论中要求的 $m\perp n$ 矛盾。因此，命题 ④ 为假命题。

综上所述，所有真命题的编号是 ①③。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的判定定理与性质定理、空间直线与平面所成角的概念。
2. 核心方法：定理分析法与特殊位置反例法。
3. 避坑指南：

• 忽视包含逻辑：在判定命题①时，注意“或”字的逻辑含义，只要 $n\parallel \alpha$ 与 $n\parallel \beta$ 满足其一即可，不能漏掉 $n\subset \alpha$ 或 $n\subset \beta$ 的特殊包含情况。
• 忽视平行特例：在审视命题④时，容易产生“成角相等说明直线处于两平面角平分面上，所以与交线垂直”的直观误判。牢记线面角在平行状态下可退化为 $0^{\circ }$，利用 $n\parallel m$ 这一特例可快速排除错误结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查立体几何中线面位置关系的真伪辨析，属于高考选择题中的中档题。旨在考查考生对空间线面基本性质定理与概念的严密逻辑推导能力。
2. 结论推广：

• 线面平行不变量规律：空间一条直线 $n$ 同时平行于两相交平面 $\alpha ,\beta$ 的充要条件是该直线平行于它们的交线 $m$，即 $n\parallel \alpha \text{ 且 }n\parallel \beta ⟺m\parallel n$（命题③的双向充要化）。
• 成角相等规律：若直线 $n$ 与两个相交平面所成的角相等且该角 $\theta \ne 0$，则直线 $n$ 位于这两个平面的角平分面上。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-09 单-线面位置关系
• 2012-山东卷文-19 解-四棱锥线面关系证明
• 2013-四川卷理-19 解-线面平行