本题导读
本题考查空间点线面位置关系。核心在于三角法、构造法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2012年山东卷(文)） 如图，几何体 是四棱锥， 为正三角形，，.
(1)求证：；
(2)若 ， 为线段 的中点，求证： 平面 .
!
🔍【思路分析】
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（1）由 、 知 垂直平分 ，结合 得 平面 ，故 ，从而 ；（2）取 中点 ，证 、，得平面 平面 。
✅【答案】
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(1)见解析；(2)见解析
✍【详细解析】
Abstract
（1）设 为 的中点。
因为 ，所以 ；因为 ，所以 。
，， 共线且均为 的垂直平分线上的点，故 。
又 ，且 与 相交于点 ，故 平面 。
因为 平面 ，所以 。
为 中点且 ，故 是 的垂直平分线，从而 。
（2）设 。由 得 ，。
又 为正三角形，故 ，且 。
因为 、 在 的两侧（图形所示位置），故 ，即 。
取 的中点 ，连接 ，。
在 中，， 分别为 ， 的中点，故 。
在 中，，，，由余弦定理
，
故 ，从而 ，即 。
又 ， 与 在同一平面 内，故 。
于是 ，，且 ， 是平面 内两条相交直线，， 是平面 内两条相交直线，故平面 平面 。
又 平面 ，所以 平面 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：空间点、线、面的位置关系；线面垂直的判定与性质；线面平行的判定（面面平行转化）
核心方法：用”等腰三角形 + 中点”造垂直，用中位线造平行，把线面平行转化为面面平行
避坑指南：证线面平行优先”面面平行”或”线线平行”转化，必须写清” 不在平面 内”（否则是包含而非平行）；第（2）问的 角来自 ，别忽略 、 在 同侧与异侧的区别。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：四棱锥中的线面关系证明题，与 2013 年山东卷文第 19 题、2013 年山东卷理第 18 题同族。
结论推广：若 且 ，则 是 的垂直平分线；若 平面 且 为 中点，则 垂直平分 。
方法推广：立体几何证明题两条主线：造垂直用”等腰 + 中点”，造平行用”中位线 + 平行四边形”，最终把结论落到线面或面面关系。
🔗【关联脉络】
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