2025-上海卷-15 单-双曲线的性质

本题导读

本题考查双曲线上的动点到定直线距离的变化规律. 通过分析直线与双曲线渐近线的平行关系，结合函数单调性与极限思想判定三角形面积的最值存在性，是上海卷解析几何板块中具有较高思维品质的选择题.

📌【题干】

Question

（2025年上海卷）已知 $A(0,1)$，$B(1,2)$，点 $C$ 在曲线 $\Gamma :x^2-y^2=1$ ($x⩾1,y⩾0$) 上，则 $△ABC$ 的面积()

A. 有最大值，但没有最小值　　　B. 没有最大值，但有最小值

C. 既有最大值，也有最小值　　　D. 既没有最大值，也没有最小值

🔍【思路分析】

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1. 固定底边：线段 $AB$ 的长度固定，$△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot h$，其中 $h$ 是点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离.
2. 直线特征：计算直线 $AB$ 的斜率。$k_{AB}=\frac{2-1}{1-0}=1$.
3. 曲线特征：曲线 $\Gamma$ 是双曲线的右支上半部分，其渐近线为 $y=x$.
4. 位置关系：直线 $AB$ ($y=x+1$) 与渐近线 ($y=x$) 平行。双曲线上的点 $C$ 从顶点 $(1,0)$ 开始，随着 $x$ 增大，无限向渐近线靠近.
5. 动态判定：分析距离 $h$ 在起点处的值以及在 $x\to +\infty$ 时的极限值.

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

1. 求直线 $AB$ 的方程： 由 $A(0,1),B(1,2)$ 得直线 $AB$ 的斜率为 $1$，方程为 $y=x+1$，即 $x-y+1=0$. 底边长 $|AB|=\sqrt{(1-0{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{2}$.

2. 分析点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离 $h$： 点 $C(x,\sqrt{x^2-1})$ 在曲线上。根据点到直线距离公式： $h=\frac{|x-\sqrt{x^2-1}+1|}{\sqrt{2}}$ 由于 $x⩾1$，可知 $x>\sqrt{x^2-1}$，故 $h=\frac{x-\sqrt{x^2-1}+1}{\sqrt{2}}$.

3. 讨论距离 $h$ 的最值与趋势： 设 $f(x)=x-\sqrt{x^2-1}+1$ ($x⩾1$).

• 当 $x=1$ 时（点 $C$ 为顶点）：$f(1)=1-0+1=2$， 此时 $h=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

• 当 $x\to +\infty$ 时：利用分子有理化，$x-\sqrt{x^2-1}=\frac{(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}$. 当 $x\to +\infty$ 时，该项趋于 $0$，故 $f(x)\to 0+1=1$，此时 $h\to \frac{1}{\sqrt{2}}$.

• 单调性：由于双曲线支在其渐近线下方且无限靠近渐近线，点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离随 $x$ 增大而严格减小.

• 4. 判定面积 $S$： $S=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot h=\frac{1}{2}f(x)$. 当 $x=1$ 时，$S=\frac{1}{2}\times 2=1$（最大值）. 当 $x\to +\infty$ 时，$S\to \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}$. 由于 $x$ 无法取到无穷大，面积只能无限接近 $\frac{1}{2}$ 而无法达到，故没有最小值.

**故选： A **

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳： 双曲线的渐近线性质：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上的点到渐近线 $bx\pm ay=0$ 的距离乘积为定值 $\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}$.

2. 方法总结： -几何直观：双曲线上的点到渐近线的距离趋于 $0$ 是处理动态问题的核心性质。本题中直线 $AB$ 平行于渐近线，本质是考查动点到渐近线的距离变化.

• 辅助工具：在考场上，通过画出双曲线右支及其渐近线、直线 $AB$ 的位置关系，可以快速直观地判断出距离在顶点处最大且随 $x$ 增大而减小.

3. 避坑指南： 最小值陷阱：在函数问题中，下确界（Infimum）不等于最小值.如果函数在开区间或无穷区间内单调且趋于某常数，该常数通常不是最小值.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若直线 $AB$ 的斜率大于 $1$，则点 $C$ 到直线的距离可能会先减小后增大（存在垂线段），此时会有最小值.

2. 方法的推广:

• 导数法：通过求 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime }(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$，由 $x>\sqrt{x^2-1}$ 得 $f^{\prime }(x)<0$，严谨证明单调性.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2014-浙江卷理-16 填-渐近线
• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长