2025-上海卷-18 解-立体几何综合

本题导读

本题是立体几何的综合解答题. 第一问考查圆锥基本量（底面半径、母线）的计算及侧面积公式；第二问通过圆的几何性质（弧长、平行弦）构造空间平行关系，考查利用面面平行证明线面平行的逻辑推理能力.

📌【题干】

Question

（2025年上海卷）如图，$P$ 是圆锥的顶点，$O$ 是底面圆心，$AB$ 是底面直径，且 $AB=2$.

（1）若直线$PA$ 与圆锥底面所成的角为 $\frac{\pi }{3}$，求圆锥的侧面积；

（2）已知 $Q$ 是母线 $PA$ 的中点，点$C,D$ 在底面圆周上，且 弧$AC$ 的长为 $\frac{\pi }{3}$，$CD\parallel AB$. 设点 $M$ 在线段 $OC$ 上，证明：直线 $QM\parallel \text{平面}PBD$.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问（计算）：

1. 识别线面角：连接 $PO$。由于 $PO\perp \text{ 底面}$，则 $\angle PAO$ 即为直线 $PA$ 与底面所成的角.
2. 求解母线：在 $Rt△POA$ 中，已知底面半径 $AO=1$ 且 $\angle PAO=60^{\circ }$，利用三角函数求出母线 $PA$ 的长.
3. 公式应用：代入圆锥侧面积公式 $S_{\text{侧}}=\pi rl$.

第二问（证明）：

1. 目标转化：证明线面平行（$QM\parallel \text{平面}PBD$）。由于 $M$ 是线段 $OC$ 上的动点，最稳健的方法是证明包含 $QM$ 的平面（ $\text{平面}QOC$）平行于 $\text{平面}PBD$.
2. 寻找关键平行线 1：利用中点性质。在 $△PAB$ 中，$O,Q$ 分别为 $AB,PA$ 的中点，可证 $QO\parallel PB$.
3. 寻找关键平行线 2：利用底面圆的几何性质。由 $CD\parallel AB$ 及弧长 $AC$ 推导出 $\angle AOC$ 与 $\angle BOD$ 的关系，证明 $OC\parallel BD$.
4. 结论整合：由面面平行推导线面平行.

✅【答案】

点击查看答案

(1) $2\pi$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）第一问详解

求圆锥的侧面积

• 确定基本量：

  底面直径 $AB=2$，则半径 $r=AO=1$。

• 分析角与长度：

  连接 $PO$。因为 $PO\perp \text{底面}$ ，所以 $\angle PAO$ 是直线 $PA$ 与底面所成的角.

  由题意知 $\angle PAO=\frac{\pi }{3}$.

  在 $Rt△POA$ 中，$PA=\frac{AO}{\cos \angle PAO}=\frac{1}{\cos \frac{\pi }{3}}=\frac{1}{1/2}=2$.

  即母线长 $l=2$.

• 计算面积：

  $S_{\text{侧}}=\pi rl=\pi \times 1\times 2=2\pi$

(2) 第(2)问详解

**（2）证明：直线 $QM\parallel \text{平面}PBD$ **

• 证明 $QO\parallel \text{平面}PBD$：

  在 $△PAB$ 中，$O$ 是 $AB$ 的中点，$Q$ 是 $PA$ 的中点。

  $\therefore QO$ 是 $△PAB$ 的中位线，则 $QO\parallel PB$。

  又 $\because PB\subset \text{平面}PBD$，$QO\not\subset \text{平面}PBD$。

  $\therefore QO\parallel \text{平面}PBD$。

• 证明 $OC\parallel \text{平面}PBD$：

  $\because$ 弧 $AC$ 的长为 $\frac{\pi }{3}$，$AO=1$，$\therefore \angle AOC=\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$。

  $\because CD\parallel AB$，根据圆的对称性（或等腰梯形性质），$\angle OCD=\angle AOC=60^{\circ }$。

  又 $OC=OD$（半径），$\therefore △OCD$ 为等边三角形，$\angle COD=60^{\circ }$。

  $\therefore \angle BOD=180^{\circ }-\angle AOC-\angle COD=180^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }$。

  在底面圆内，$\angle AOC=\angle BOD=60^{\circ }$。

  $\therefore$ 弦 $AC=BD$ 且 $OC\parallel BD$（同位角相等或利用向量/坐标易证）。

  又 $\because BD\subset \text{平面}PBD$，$OC\not\subset \text{平面}PBD$。

  $\therefore OC\parallel \text{平面}PBD$。

• 结论推导：

  $\because QO\cap OC=O$，且 $QO,OC\subset \text{平面}QOC$。

  $\therefore \text{平面}QOC\parallel \text{平面}PBD$。

  $\because M$ 在线段 $OC$ 上，$\therefore QM\subset \text{平面}QOC$。

  $\therefore QM\parallel \text{平面}PBD$。

空间向量法 步骤1：建立空间直角坐标系 以$O$为原点，$OB,OE,OP$分别为$x,y,z$轴，得： $P(0,0,\sqrt{3}),B(1,0,0),D\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$

向量： $\overrightarrow{PB}=(1,0,-\sqrt{3}),\overrightarrow{BD}=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$ 步骤2：求$\text{平面}PBD$的法向量$\overrightarrow{\mathbf{n}}$ 设$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$， 则 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{n}=x-\sqrt{3}z=0\\ \overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{n}=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0\end{array}$ 令$z=1$，解得$x=\sqrt{3},y=1$， 故 $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(\sqrt{3},1,1)$ 步骤3：参数化点$M,Q$，证明$\overrightarrow{\mathbf{QM}}\perp \overrightarrow{\mathbf{n}}$

令$|\overrightarrow{OM}|=\lambda (0\le \lambda \le 1)$，

则 $M\left(-\frac{1}{2}\lambda ,\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda ,0\right),Q\left(-\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\overrightarrow{QM}=\left(-\frac{1}{2}\lambda +\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda ,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

计算： \begin{align} \overrightarrow{QM}\cdot\overrightarrow{n}&=\left(-\frac12\lambda+\frac12\right)\cdot\sqrt3+\frac{\sqrt3}{2}\lambda\cdot1+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\cdot1\\ &=-\frac{\sqrt3}{2}\lambda+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\lambda-\frac{\sqrt3}{2}\\ &=0 \end{align}

故$\overrightarrow{\mathbf{QM}}\perp \overrightarrow{\mathbf{n}}$，又$QM\not\subset$平面$PBD$，因此$\mathbf{QM}\parallel \text{平面}\mathbf{PBD}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 圆锥体积公式：$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。
• 线面平行性质定理：若线面平行，则过该直线的平面与已知平面的交线平行于该直线.

2. 方法总结：

• 中点的暗示：题目给出母线中点 $Q$ 和底面中心 $O$，应敏锐觉察到中位线 $QO$ 及其产生的平行关系.
• 几何性质的挖掘：平行弦所夹的弧相等。由于 $CD\parallel AB$，可以快速推导出 $\angle AOC=\angle BOD$.
• 证明风格建议：对于 $M$ 为线段上动点的平行证明，利用“面面平行”来证“线面平行”是最简洁的。因为它不需要在目标平面内费力寻找具体的平行线，逻辑闭环更严密.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若 $Q$ 是 $PA$ 上的点且满足 $PQ:QA=k$，当 $M$ 在 $OC$ 上移动且满足 $OM:MC$ 的特定比例时，是否仍有平行？（涉及分点性质）

2. 方法的推广:

• 空间向量法：建立空间直角坐标系，通过证明直线 $QM$ 的方向向量与平面 $PBD$ 的法向量垂直（$\vec{v}\cdot \vec{n}=0$）来证明平行.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2013-天津卷理-13 填-切割线定理
• 2013-山东卷理-09 单-圆的切线方程