2025-北京卷-09 单-对数模型

本题导读

本题以大语言模型训练数据量与时间的关系为背景，考查对数函数的运算性质及其在实际建模中的应用，体现了数学应用性强的特点 .

📌【题干】

Question

（2025年北京卷）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 $N$ 个单位的数据量所需要时间 $T=k{\log }_{2}N$（单位：小时），其中 $k$ 为常数.在此条件下，已知训练数据量 $N$ 从 $10^6$ 个单位增加到 $1.024\times 10^9$ 个单位时，训练时间增加 20 小时；当训练数据量 $N$ 从 $1.024\times 10^9$ 个单位增加到 $4.096\times 10^9$ 个单位时，训练时间增加（单位：小时）()

A. $2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $20$　　　　　　　D. $40$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确数学模型：训练时间 $T$ 是数据量 $N$ 的对数函数。增加的时间 $\Delta T$ 即为两个对数值之差.
2. 利用对数性质简化：根据 ${\log }_{a}M-{\log }_{a}N={\log }_a\frac{M}{N}$，时间增量 $\Delta T=k{\log }_2\frac{N_{new}}{N_{old}}$。这意味着增加的时间只取决于数据量增加的倍数。
3. 第一步求参：利用数据量从 $10^6$ 到 $1.024\times 10^9$（增加了 1024 倍，即 $2^{10}$ 倍）和时间增加 20 小时的已知条件，解出常数 $k$.
4. 第二步求值：计算数据量从 $1.024\times 10^9$ 到 $4.096\times 10^9$ 的倍数关系（增加了 4 倍，即 $2^2$ 倍），代入增量公式求出结果.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

**增量性质法（推荐，最快解法）

1. 建立增量模型： 设数据量由 $N_1$ 增加到 $N_2$ 时，训练时间的增量为 $\Delta T$： $\Delta T=T_2-T_1=k{\log }_2{N}_2-k{\log }_2{N}_1=k{\log }_2\frac{N_2}{N_1}$ 2. 计算第一次增长的倍数并求 $k$： 已知 $N_1=10^6,N_2=1.024\times 10^9$.

倍数 $n_1=\frac{1.024\times 10^9}{10^6}=1.024\times 10^3=1024=2^{10}$. 代入增量公式：$\Delta T_1=k{\log }_2{2}^{10}=10k$. 由题意知 $10k=20$，解得 $k=2$.

3. 计算第二次增长的时间增量： 已知起始量为 $N_2=1.024\times 10^9$，终止量为 $N_3=4.096\times 10^9$. 倍数 $n_2=\frac{4.096\times 10^9}{1.024\times 10^9}=4=2^2$。 代入增量公式：$\Delta T_2=k{\log }_2{2}^2=2k$. 代入 $k=2$，得 $\Delta T_2=2\times 2=4$（小时）. 故选为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：熟练掌握对数法则中的“差变商”性质。在科学模型中（如分贝、里氏震级、训练算力），指标的线性增长通常对应着自变量的指数级翻倍.

• 换底公式：${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$.

• 指数与对数互化：$x={\log }_{a}y⟺y=a^x$.

2. 方法总结：在对数模型 $y=k\log N$ 中，若 $N$ 变为原来的 $m$ 倍，则 $y$ 增加 $k\log m$.

3. 避坑指南：

• 单位识别：看到 $1.024$ 和 $4.096$ 应敏锐联想到 2 的幂次（$2^{10}=1024,2^{12}=4096$），这能大幅缩短笔算时间.
• 差值陷阱*：本题考查的是“增加”的时间，即 $\Delta T$，不要误去计算各个时刻的总时间 $T$.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 摩尔定律式应用：若某种指标按指数增长，其取对数后的表现则是等差数列. 本题中数据量翻倍，时间则按固定步长增加.

2. 方法的推广:

• 对数变换法：在处理非线性数据关系时，通过对自变量或因变量取对数，可以将乘除关系转化为加减关系，方便进行线性回归分析.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 2008-湖北卷文-08 单-复合函数定义域
• 2009-江西卷理-02