2026-上海卷-03 填-二倍角

本题导读

本题考查三角函数中二倍角余弦公式的直接应用。核心在于选择含有正弦项的倍角公式变形，将已知条件直接代入求值。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）已知 $\sin \alpha =\frac{1}{5}$，则 $\cos 2\alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回忆二倍角公式：余弦的二倍角公式有三种常见形式：

• $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$
• $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$
• $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$

2. 选择最优公式：由于已知条件为 $\sin \alpha$ 的值，选择形式 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 可以避免求解 $\cos \alpha$，从而直接计算。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{23}{25}$

✍【详细解析】

Abstract

根据余弦的二倍角公式，有： $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 将已知条件 $\sin \alpha =\frac{1}{5}$ 代入上式得： $\cos 2\alpha =1-2\times {\left(\frac{1}{5}\right)}^2$ $\cos 2\alpha =1-2\times \frac{1}{25}$ $\cos 2\alpha =1-\frac{2}{25}=\frac{23}{25}$

故答案为 $\frac{23}{25}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换中的余弦倍角公式。
2. 核心方法：公式选择法。根据已知基本量直接锚定无中间过渡的变式形式。
3. 避坑指南：混淆公式中的正负号或系数。避免将公式错记为 $2{\sin }^2\alpha -1$ 导致结果符号相反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考数学试卷的前端基础题，直接考查课本中必修内容的核心三角公式记忆与基本运算。
2. 结论推广：通过正弦、余弦的平方和关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，二倍角余弦公式实质上建立了一次三角函数值向二次对称结构的线性映射。无论 $\alpha$ 处于哪一个象限， $\cos 2\alpha$ 的值均由 ${\sin }^2\alpha$ 的代数结果唯一确定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2012年天津卷理-15
• 2012年浙江卷理-6
• 2025-新高考II卷-08 单-三角恒等变换