2026-天津卷-14 填-数量积

本题导读

本题考查平面向量的线性组合、数量积以及模的最值范围判定。第一空利用基底唯一性或直接作数量积消元求解；第二空属于代数压轴难点，需要将模的几何限制转化为代数条件，利用向量的数量积投影关系，结合三角不等式或二次函数逼近，精确求出参数和的取值范围。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）已知 $|\vec{a}|=\vec{a}\cdot \vec{b}=1$， $|\vec{b}|>1$.记 $\vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$.当 $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}$ 时， $\lambda +\mu =$ $\underline{}$；当 $|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|=1$ 时，则 $\lambda +\mu$ 的取值范围为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 第一空分析：当 $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}$ 时，有 $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$。由于 $\vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$ 且 $\vec{a},\vec{b}$ 不共线（若共线则与 $|\vec{a}|=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=1,|\vec{b}|>1$ 矛盾），根据平面向量基本定理的唯一性，直接锁定 $\lambda =1,\mu =1$。
2. 第二空分析：

• 将 $\vec{c}$ 的代数式代入已知模长方程中： $|\vec{a}+\vec{b}-(\lambda \vec{a}+\mu \vec{b})|=|(1-\lambda )\vec{a}+(1-\mu )\vec{b}|=1$。
• 设 $x=1-\lambda ,y=1-\mu$，则目标代数式 $\lambda +\mu =2-(x+y)$。
• 已知条件转化为 $|x\vec{a}+y\vec{b}|=1$。将其两边平方： $x^2|\vec{a}{|}^2+2xy\vec{a}\cdot \vec{b}+y^2|\vec{b}{|}^2=1$。
• 将 $|\vec{a}{|}^2=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=1$ 代入，得到二次型方程： $x^2+2xy+y^2|\vec{b}{|}^2=1$。
• 利用判别式法或消元法分析 $x+y$ 的界限，再结合 $|\vec{b}|>1$ 的边界效应，推导出 $\lambda +\mu$ 的全集取值范围。

✅【答案】

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$2$ ； $[1,3]$

✍【详细解析】

Abstract

• 求解第一空： 若 $\vec{a},\vec{b}$ 共线，则 $\vec{b}=k\vec{a}$。由 $\vec{a}\cdot \vec{b}=k|\vec{a}{|}^2=k=1$，则 $\vec{b}=\vec{a}$，此时 $|\vec{b}|=|\vec{a}|=1$，与题设 $|\vec{b}|>1$ 矛盾。 因此， $\vec{a},\vec{b}$ 是不共线的非零向量，可以作为平面内的一组基底。 当 $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}$ 时， $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$。 又已知 $\vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$，由平面向量基本定理的唯一性，可得： $\lambda =1,\mu =1⟹\lambda +\mu =2$

• 求解第二空： 令 $x=1-\lambda ,y=1-\mu$，则 $\lambda +\mu =2-(x+y)$。 已知条件 $|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|=1$ 可重写为： $|(1-\lambda )\vec{a}+(1-\mu )\vec{b}|=|x\vec{a}+y\vec{b}|=1$ 将等式两边进行平方： $(x\vec{a}+y\vec{b}{)}^2=x^2|\vec{a}{|}^2+2xy(\vec{a}\cdot \vec{b})+y^2|\vec{b}{|}^2=1$ 代入已知数据 $|\vec{a}|=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=1$，记 $|\vec{b}|=\beta$ （其中 $\beta >1$），上式化简为： $x^2+2xy+{\beta }^2{y}^2=1⟹(x+y{)}^2+({\beta }^2-1)y^2=1$

为了求解 $x+y$ 的范围，令 $k=x+y$。则上式变为： $k^2+({\beta }^2-1)y^2=1⟹({\beta }^2-1)y^2=1-k^2$ 因为 $\beta >1⟹{\beta }^2-1>0$，且 $y^2\ge 0$，所以必须满足： $1-k^2\ge 0⟹k^2\le 1⟹-1\le k\le 1$

现在探讨 $k=x+y$ 能否取到端点：

• 当 $k=\pm 1$ 时， $1-k^2=0⟹y=0$。代入原方程，得 $x^2=1⟹x=\pm 1$，满足方程，此时 $x+y=\pm 1$ 均可取到。
• 故 $x+y$ 的取值范围为 $[-1,1]$。

我们将 $x+y$ 的范围代回 $\lambda +\mu$ 的代数表达式中： 因为 $-1\le x+y\le 1$， 所以 $-1\le -(x+y)\le 1⟹2-1\le 2-(x+y)\le 2+1$。 即： $1\le \lambda +\mu \le 3$

故答案为： $2$ ； $[1,3]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量基底唯一定理；向量模方化（$|\vec{m}{|}^2={\vec{m}}^2$）代数处理；二次型非负性的有界范围控制。
2. 核心方法：整体换元法（通过引入 $x,y$ 使得二项式结构对称清晰）。
3. 避坑指南：处理第二空时，切勿盲目拆分 $\lambda$ 与 $\mu$ 单独求范围再相加，由于两者之间受到二次方程约束，相互独立展开会导致等号无法同时取到，使范围扩大。通过整体换元令 $k=x+y$ 转化为单变量配方，是躲避此代数陷阱最有效的手段。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考天津卷填空压轴题（第 14 题），考查高一必修第二册中平面向量核心定理的综合控算能力。
2. 结论推广：本题在几何上具有深刻的柯西不等式与投影背景。由于 $\vec{a}\cdot \vec{b}=1,|\vec{a}|=1$，说明向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的正投影长度恰好为 1。等式 $(x+y{)}^2+({\beta }^2-1)y^2=1$ 在解析几何中代表一个关于 $x,y$ 的斜椭圆。求 $x+y$ 的范围实质上等价于求该椭圆切线的斜截距边界，其全集的下界与上界完美由常数项的平方根决定，与基底向量 $\vec{b}$ 模长的具体大小（只要其大于 1 维持椭圆实轴开度）完全独立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算
• 2013-新课标II卷理-13 填-平面向量数量积的性质及运算