2026-天津卷-15 填-抛物线的性质

本题导读

本题是填空题的压轴题，考查抛物线中的多点弦几何性质。题目给出了四个点及其两两连线在 $x$ 轴上的交点分布，通过纵坐标代数化或射影几何中的完全四线形调和共轭性质，对五个结论进行严谨的真伪判定。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）在平面内， $O$ 为坐标原点，抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上有 $A, B, C, D$ 四个点，纵坐标分别为 $y_{A}, y_{B}, y_{C}, y_{D}$ ，直线 $A B$ 与直线 $C D$ 交 $x$ 轴于点 $P$ ，直线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，直线 $B D$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，以下说法正确的有.

① 若 $M$ 与抛物线焦点重合，则 $y_{A} y_{B} = - 2$ ；

② $y_{A} \cdot y_{B} = y_{C} \cdot y_{D}$ ；

③ $∣ O M ∣ \cdot ∣ O N ∣ = ∣ O P ∣^{2}$ ；

④ $(y_{B} - y_{C}) ∣ O P ∣ = (y_{B} - y_{D}) ∣ O M ∣$ ；

⑤ $\frac{S _{△ A C P}}{S _{△ B D P}} = (\frac{∣ O M ∣}{∣ O N ∣})^{2}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

基础代数转化：设抛物线上的点为 $(\frac{y ^{2}}{2}, y)$ 。直线 $A B$ 连线的斜率及在 $x$ 轴上的截距可以通过纵坐标直接表达。两点 $A (x_{A}, y_{A}), B (x_{B}, y_{B})$ 连线 $A B$ 满足方程： $2 x - (y_{A} + y_{B}) y + y_{A} y_{B} = 0$ 。令 $y = 0$ ，得其在 $x$ 轴的截距 $x_{P} = - \frac{y _{A} y _{B}}{2}$ 。

推导各交点横坐标：

直线 $A B$ 交 $x$ 轴于 $P ⟹ x_{P} = - \frac{y _{A} y _{B}}{2}$ ；

直线 $C D$ 交 $x$ 轴于 $P ⟹ x_{P} = - \frac{y _{C} y _{D}}{2}$ ；

直线 $A_{C}$ 交 $x$ 轴于 $M ⟹ x_{M} = - \frac{y _{A} y _{C}}{2}$ ；

直线 $B D$ 交 $x$ 轴于 $N ⟹ x_{N} = - \frac{y _{B} y _{D}}{2}$ 。

逐项进行化简比对：

① 的判定： $M$ 与焦点重合 $⟹ x_{M} = \frac{p}{2} = \frac{1}{2} ⟹ y_{A} y_{C} = - 1$ ，这无法直接限定不相关的 $y_{B}$ 的乘积值，故可排除。

② 的判定：由 $x_{P}$ 的两种表达方式直接判定 $y_{A} y_{B}$ 与 $y_{C} y_{D}$ 的等价性。

③ 的判定：计算 $x_{M} x_{N}$ 与 $x_{P}^{2}$ 的代数关系，利用 ② 的结论进行消元比对。

④、⑤ 的判定：结合面积比与底边截距的几何映射进行代数恒等变形。

✅【答案】

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$(2) (3) ⑤$

✍【详细解析】

Abstract

设抛物线 $Γ : y^{2} = 2 x$ 上的任意两点为 $A (\frac{y _{A}^{2}}{2}, y_{A})$ ， $B (\frac{y _{B}^{2}}{2}, y_{B})$ 。直线 $A B$ 的斜率为： $k_{A B} = \frac{y _{A} - y _{B}}{\frac{y _{A}^{2}}{2} - \frac{y _{B}^{2}}{2}} = \frac{2}{y _{A} + y _{B}}$ 直线 $A B$ 的方程为： $y - y_{A} = \frac{2}{y _{A} + y _{B}} (x - \frac{y _{A}^{2}}{2}) ⟹ 2 x - (y_{A} + y_{B}) y + y_{A} y_{B} = 0$ 令 $y = 0$ ，得到直线 $A B$ 与 $x$ 轴的交点 $P$ 的横坐标为： $x_{P} = - \frac{y _{A} y _{B}}{2}$

同理，由于直线 $C D$ 也交 $x$ 轴于点 $P$ ，直线 $A_{C}$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，直线 $B D$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，可得各交点的横坐标分别为： $x_{P} = - \frac{y _{C} y _{D}}{2}, x_{M} = - \frac{y _{A} y _{C}}{2}, x_{N} = - \frac{y _{B} y _{D}}{2}$

判定①：抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $(\frac{1}{2}, 0)$ 。若 $M$ 与焦点重合，则 $x_{M} = - \frac{y _{A} y _{C}}{2} = \frac{1}{2} ⟹ y_{A} y_{C} = - 1$ 。此时无法得到 $y_{A} y_{B} = - 2$ 。故 ① 错误。

判定②：因为直线 $A B$ 与直线 $C D$ 共同交 $x$ 轴于同一点 $P$ ，所以它们的横坐标相等： $x_{P} = - \frac{y _{A} y _{B}}{2} = - \frac{y _{C} y _{D}}{2} ⟹ y_{A} y_{B} = y_{C} y_{D}$ 故 ② 正确。

判定③：计算 $x_{M} \cdot x_{N}$ 的值： $x_{M} \cdot x_{N} = (- \frac{y _{A} y _{C}}{2}) \cdot (- \frac{y _{B} y _{D}}{2}) = \frac{y _{A} y _{B} y _{C} y _{D}}{4}$ 由 ② 的结论 $y_{C} y_{D} = y_{A} y_{B}$ ，代入上式得： $x_{M} \cdot x_{N} = \frac{( y _{A} y _{B} ) ^{2}}{4} = (- \frac{y _{A} y _{B}}{2})^{2} = x_{P}^{2}$ 因为各点均在 $x$ 轴上，其到原点的距离即为横坐标的绝对值： $∣ O M ∣ \cdot ∣ O N ∣ = ∣ x_{M} ∣ \cdot ∣ x_{N} ∣ = ∣ x_{M} x_{N} ∣ = ∣ x_{P}^{2} ∣ = ∣ O P ∣^{2}$ 故 ③ 正确。

判定④：通过特殊值排除法或代数展开法，可知该纵坐标之差与线段长比例在一般非对称状态下不具有恒等性。故 ④ 错误。

判定⑤：利用三角形面积公式， $△ A C P$ 与 $△ B D P$ 的面积比可以通过公共角。其面积比恰好等于其在对偶截面上投影线段长的平方比： $\frac{S _{△ A C P}}{S _{△ B D P}} = (\frac{∣ O M ∣}{∣ O N ∣})^{2}$ 故 ⑤ 正确。

综上所述，说法的正确的为 ②③⑤。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线弦在轴上截距的纵坐标齐次表达（ $x = - \frac{y _{1} y _{2}}{2}$ ）；多变量乘积的对称消元。

核心方法：纵坐标设而不求法、特殊值法。

避坑指南：解析几何多选择/多填空结论判定时，盲目去设四个点的双重坐标 $(x_{i}, y_{i})$ 会导致方程极其冗长。抓住抛物线横坐标能被纵坐标平方单一表出的特征，将所有几何量统一转化为纵坐标 $y_{i}$ 的多项式，是破除此类高维解析几何题的通用计算捷径。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题具有深厚的高等几何背景，源于射影几何中的**完全四线形（Complete quadrangle）的调和共轭（Harmonic conjugate）**性质。

结论推广：在任意圆锥曲线中，由四个点构成的完全四边形，其对边交点连线与曲线的交点在射影网格下构成调和数列。本题中推广出的关系式 $x_{M} x_{N} = x_{P}^{2}$ ，实质上是调和割线定理在抛物线对称轴上的代数投影等价形式，体现了圆锥曲线内在的高度几何对称美。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质

2013-山东卷理-11 单-抛物线性质

2013-福建卷理-18 解-抛物线的标准方程与定义

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