2026-新高考I卷-05 单-抛物线几何性质

本题导读

本题考查圆锥曲线中抛物线几何特性的定量计算。核心意图在于测试学生根据已知点坐标确定不同对称轴方向的抛物线标准方程参数，进而准确写出各自焦点坐标并计算两焦点间空间距离的基础解析几何运算能力。

📌【题干】

Question

（2026年新高考I卷）已知抛物线 $C_1:y^2=2p_{1}x(p_1>0)$ 和 $C_2:x^2=2p_{2}y(p_2>0)$ 均经过点 $(4,8)$，则 $C_1$ 的焦点与 $C_2$ 的焦点之间的距离为（ ）

A. $12$　　　　　　　B. $4\sqrt{5}$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{65}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：由于两抛物线均经过点 $(4,8)$，分别将点坐标 $x=4,y=8$ 代入 $C_1$ 和 $C_2$ 的标准方程中，通过一元一次方程求出参数 $p_1$ 和 $p_2$ 的精确值。
2. 第二步逻辑：根据抛物线标准方程形式，认清其对称轴方向。 $y^2=2px$ 的焦点在 $x$ 轴正半轴，坐标为 $\left(\frac{p}{2},0\right)$； $x^2=2py$ 的焦点在 $y$ 轴正半轴，坐标为 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$。以此写出 $C_1$ 与 $C_2$ 的焦点坐标。
3. 第三步逻辑：利用平面上两点间的距离公式 $d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$，计算这两点之间的距离。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

将点 $(4,8)$ 代入抛物线 $C_1:y^2=2p_{1}x$ 中：

$8^2=2p_1\times 4⟹64=8p_1⟹p_1=8$

将点 $(4,8)$ 代入抛物线 $C_2:x^2=2p_{2}y$ 中：

$4^2=2p_2\times 8⟹16=16p_2⟹p_2=1$

对于抛物线 $C_1:y^2=16x$，开口向右，焦点在 $x$ 轴正半轴上：

$F_1=\left(\frac{p_1}{2},0\right)=\left(\frac{8}{2},0\right)=(4,0)$

对于抛物线 $C_2:x^2=2y$，开口向上，焦点在 $y$ 轴正半轴上：

$F_2=\left(0,\frac{p_2}{2}\right)=\left(0,\frac{1}{2}\right)=\left(0,\frac{1}{2}\right)$

应用平面两点间距离公式，求 $F_1(4,0)$ 与 $F_2\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 之间的距离 $d$：

$d=\sqrt{(4-0{)}^2+{\left(0-\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{16+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{64+1}{4}}=\sqrt{\frac{65}{4}}=\frac{\sqrt{65}}{2}$

正确答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不同开口方向抛物线焦点的代数表达；平面坐标系距离距离测度。
2. 核心方法：待定系数法、坐标几何法。
3. 避坑指南：

• 焦点位置记混陷阱：在确定 $C_2$ 的焦点时，其标准方程为 $x^2=2py$，焦点坐标应为 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$。部分学生容易机械地将所有抛物线的焦点都写成 $\left(\frac{p}{2},0\right)$，导致算出错误坐标 $(4,0)$ 与 $\left(\frac{1}{2},0\right)$，从而误选错误选项。务必通过二次项的变元来死盯对称轴的位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是新高考解析几何大纲中关于圆锥曲线基础定义的典型经典考题，通过将两条标准抛物线交叉共点结合，测试学生对基础性质公式提取的准确度。
2. 结论推广： 对于所有同时经过定点 $M(x_0,y_0)(x_0>0,y_0>0)$ 的两对称抛物线 $y^2=2p_{1}x$ 与 $x^2=2p_{2}y$：

• 参数满足 $p_1=\frac{y_0^2}{2x_0}$，焦点 $F_1=\left(\frac{y_0^2}{4x_0},0\right)$；
• 参数满足 $p_2=\frac{x_0^2}{2y_0}$，焦点 $F_2=\left(0,\frac{x_0^2}{4y_0}\right)$。 这两焦点间的距离公式可直接一般化推广为通式： $d=\sqrt{{\left(\frac{y_0^2}{4x_0}\right)}^2+{\left(\frac{x_0^2}{4y_0}\right)}^2}$

本题中代入 $x_0=4,y_0=8$： $d=\sqrt{{\left(\frac{64}{16}\right)}^2+{\left(\frac{16}{32}\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{65}}{2}$

利用此结论通式，未来在考场上遇到同类共点双焦点距离题，可跳过建方程和坐标提取步骤，直接口算代入。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性
• 2010-安徽卷文-12 填-抛物线的焦点
• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值