2026-新高考I卷-08 单-期望

本题导读

本题考查空间离散点集下的离散型随机变量数学期望。核心意图在于测试学生利用空间点集的中心对称性简化复杂代数求和的逻辑推理能力，从而避免对 63 个点进行繁琐的逐一分类穷举计算。

📌【题干】

Question

（2026年新高考I卷）设 $U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in \{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\}$ 为空间中 64 个点构成的集合. 点 $P(1,1,1)$，记样本空间 $\Omega ={\complement }_U\{P\}$. 从 $\Omega$ 中随机取一个点，定义随机变量 $X$ 如下：对 $\Omega$ 中的每个点 $A(x_1,x_2,x_3)$，令 $X(A)=x_1+x_2+x_3$，则 $X$ 的数学期望值为()

A. $-\frac{1}{21}$　　　　　　B. $-\frac{1}{63}$　　　　　　C. $0$　　　　　　D. $\frac{1}{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（分析整体对称性）：集合 $U$ 中的坐标分量 $\{-2,-1,1,2\}$ 关于原点 $O(0,0,0)$ 呈现严格的中心对称。若对全集 $U$ 中的所有点求其坐标和的总和，由于正负项相互完全抵消，其总和必然为 $0$。
2. 第二步逻辑（转换样本空间求和）：样本空间 $\Omega$ 是从全集 $U$ 中挖去点 $P(1,1,1)$ 后的集合，包含 $64-1=63$ 个点。要求 $\Omega$ 中所有点的 $X(A)$ 总和，利用补集思想，等价于用全集 $U$ 的总和（即 $0$）减去孤立点 $P$ 的值 $X(P)$。
3. 第三步逻辑（计算期望值）：根据古典概型离散型随机变量的数学期望公式 $E(X)=\frac{1}{63}{\sum }_{A\in \Omega }X(A)$，将计算出的总和除以总点数 63 即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：利用对称性

已知集合 $U$ 包含 64 个点，每个点的坐标分量 $x_1,x_2,x_3$ 均独立取自集合 $\{-2,-1,1,2\}$。 考察全集 $U$ 中所有点的坐标分量之和： ${\sum }_{A\in U}X(A)={\sum }_{A\in U}(x_1+x_2+x_3)$ 由于各个坐标轴上的分量取值是对称且独立的，集合 $\{-2,-1,1,2\}$ 内部所有元素之和为： $(-2)+(-1)+1+2=0$ 因此，全集 $U$ 中所有点的坐标代数和恒为： ${\sum }_{A\in U}X(A)=0$

已知点 $P$ 的坐标为 $(1,1,1)$，则点 $P$ 对应的随机变量值为： $X(P)=1+1+1=3$ 样本空间 $\Omega ={\complement }_U\{P\}$，即从 $U$ 中剔除点 $P$。由补集思想， $\Omega$ 中所有点的随机变量总和为： ${\sum }_{A\in \Omega }X(A)=\left({\sum }_{A\in U}X(A)\right)-X(P)=0-3=-3$

因为从包含 63 个点的样本空间 $\Omega$ 中随机抽取一个点，每个点被抽到的概率均为 $\frac{1}{63}$。 根据数学期望的定义公式： $E(X)=\frac{1}{63}{\sum }_{A\in \Omega }X(A)=\frac{1}{63}\times (-3)=-\frac{3}{63}=-\frac{1}{21}$

正确答案：A

方法二：期望线性可加性

根据期望的线性性质（Linearity of Expectation），对于任意两个随机变量 $Y$ 和 $Z$（无论它们是否相互独立），均满足： $E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)$

本题中，随机变量 $X=x_1+x_2+x_3$。因此， $E(X)=E(x_1)+E(x_2)+E(x_3)$

在全集 $U$（共 $64$ 个点）中，每个坐标轴 $x_i$ ($i=1,2,3$) 的取值都是独立且均匀分布在集合 $\{-2,-1,1,2\}$ 中的。 由于该集合关于原点对称，则：${\sum }_{A\in U}X(A)=0$

样本空间 $\Omega$ 是从 $U$ 中挖去了点 $P(1,1,1)$，总点数变为了 $63$ 个。 这意味着对于每一个坐标轴 $x_i$，原本 $64$ 个点的坐标总和是 $0$，现在少了一个坐标值为 $1$ 的点（因为 $P$ 的各个坐标均为 $1$）。

以 $x_1$ 为例，在样本空间 $\Omega$ 中（共 $63$ 个点），所有点的第一个坐标分量 $x_1$ 的代数总和为： ${\sum }_{A\in \Omega }{x}_1=\left({\sum }_{A\in U}{x}_1\right)-1=0-1=-1$

因此，在样本空间 $\Omega$ 中，随机变量 $x_1$ 的数学期望为： $E(x_1)=\frac{-1}{63}$

同理，由于点 $P$ 的三个坐标分量全为 $1$，空间对称性在三个维度上完全一致，故： $E(x_2)=\frac{-1}{63}$ $E(x_3)=\frac{-1}{63}$

利用期望的线性性质，将三个分量的期望直接相加： $E(X)=E(x_1)+E(x_2)+E(x_3)$ $E(X)=\left(-\frac{1}{63}\right)+\left(-\frac{1}{63}\right)+\left(-\frac{1}{63}\right)=-\frac{3}{63}=-\frac{1}{21}$

正确答案：A

🎯【方法对比与方法论提炼】

解题方法	思考维度	核心优势
整体补集法	宏观（三维空间整体）	整体感强，一步到位得出总和 $-3$，适合规则对称破缺。
期望线性法	微观拆解（一维投影）	通用性极强！ 如果点 $P$ 的坐标变为不相等的 $(2,1,-1)$，整体法容易混淆，而线性法直接拆解为 $-\frac{2}{63}-\frac{1}{63}+\frac{1}{63}=-\frac{2}{63}$，降维打击且极难出错。

📌 总结： 利用期望的线性性质，可以把复杂的空间多维几何点集问题，退化为单一数轴上的计数问题。这是概率论中“化繁为简、降维打击”的经典利器。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限点集中心对称性的代数消元应用；补集思想在期望求和中的转化。
2. 核心方法：对称消元法。
3. 避坑指南：

• 机械穷举解法陷阱：部分学生在面对此类大空间坐标题时，会本能地去计算 $x_1+x_2+x_3$ 取各个不同数值时的排列组合数（如等于 $-6,-5,\dots ,6$ 等），再乘以对应概率。这种解法运算量极大且容易数漏。面对均匀对称分布且有破缺（挖去某点）的集合，首选“全集对称相消再减去破缺项”的宏观视界。

💡【考点归纳与避坑指南】

1. 试题探源： 本题为新高考空间向量与概率统计板块的典型综合压轴单选题。其高等数学背景源于晶格代数中的“宇称破缺网格求和模型”。
2. 结论推广： 对于任意关于原点对称且包含 $N$ 个元素的均匀离散点集 $U$（元素代数和为 $0$），若从中挖去任意一个特定点 $P$，在剩余的 $N-1$ 个点组成的样本空间 $\Omega$ 中等可能随机抽取一点 $A$，则该点的代数和函数 $X(A)$ 的数学期望恒满足通用公式： $E(X)=-\frac{X(P)}{N-1}$ 本题中 $N=64$（样本数 $N-1=63$），点 $P(1,1,1)⟹X(P)=3$。 直接带入该推广通式： $E(X)=-\frac{3}{64-1}=-\frac{3}{63}=-\frac{1}{21}$ 利用此结论通式，未来在考场上遇到同类挖点期望题，可直接口算秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题以空间格点集为载体的随机变量期望选择题：样本空间为挖去一点 $P(1,1,1)$ 的对称格点集，考查期望的对称化求法与样本空间缩减后的重新归一，属于概率板块中”巧算期望”的代表性试题。

一般地，若总体点集关于原点中心对称且各分量独立同分布（均值 $0$），则坐标和的期望为 $0$；从 $N$ 个对称点中挖去 $(a,a,a)$ 后，期望变为 $-\frac{3a}{N-1}$，本题即 $-\frac{3}{63}=-\frac{1}{21}$。

期望计算优先审视”对称性”与”独立性”两条捷径：对称结构配对抵消，独立结构用 $E\left(\sum X_i\right)=\sum E(X_i)$ 线性展开；本题若枚举 $63$ 个点的分布列将极其冗长，对称消元是唯一高效路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2006-山东卷理-20 解-互斥事件的概率加法公式
• 2008-大纲卷I理-20
• 2008-广东卷文-19 解-分层抽样与古典概型