2026-新高考II卷-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算。核心意图在于测试学生对完全平方公式在复数域中的应用，以及对虚数单位性质 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的掌握程度。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）$(1-3\mathrm{i}{)}^2=$ ()

A. $-8+6\mathrm{i}$　　　　B. $-8-6\mathrm{i}$　　　　C. $8+6\mathrm{i}$　　　　D. $8-6\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：利用初等代数的完全平方公式 $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ 将代数式直接展开。
2. 第二步逻辑：利用虚数单位的定义性质，将展开式中的 ${\mathrm{i}}^2$ 替换为 $-1$。
3. 第三步逻辑：合并实部与虚部，化简为复数的标准形式 $a+b\mathrm{i}$，对照选项。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

展开 $(1-3\mathrm{i}{)}^2$： $(1-3\mathrm{i}{)}^2=1^2-2\times 1\times 3\mathrm{i}+(3\mathrm{i}{)}^2$ $=1-6\mathrm{i}+9{\mathrm{i}}^2$ 将 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 代入式中： $1-6\mathrm{i}+9\times (-1)=1-6\mathrm{i}-9$ 化简： $(1-9)-6\mathrm{i}=-8-6\mathrm{i}$ 正确答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数完全平方公式的代数展开； ${\mathrm{i}}^2$ 的符号转换。
2. 核心方法：完全平方公式法。
3. 避坑指南：

• 最后的平方项符号陷阱：部分学生在计算 $(3\mathrm{i}{)}^2$ 时，容易忽略 $\mathrm{i}$ 的平方会带来一个负号，错写成 $+9$，从而得到 $10-6\mathrm{i}$。或者是把前面的减号与平方符号混淆。牢记 $(bi{)}^2=-b^2$ 呈现负号特征。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是圆锥曲线与代数板块热身阶段的常规试题。作为试卷的开篇题，属于大纲中复数板块最基本的概念计算题。
2. 结论推广： 对于所有形如 $(a+b\mathrm{i}{)}^2(a,b\in \mathbf{R})$ 的复数乘方运算，其展开后的实部与虚部具有恒定的代数通式： $(a+b\mathrm{i}{)}^2=(a^2-b^2)+2ab\mathrm{i}$ 本题中 $a=1,b=-3$，直接代入该通式：

• 实部： $a^2-b^2=1^2-(-3{)}^2=1-9=-8$
• 虚部： $2ab=2\times 1\times (-3)=-6$ 合并即得 $-8-6\mathrm{i}$。利用该推广结论，此类复数乘方题可直接口算输出答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I理-01 单-复数的乘方运算
• 2005-山东卷理-01 单-复数的代数运算
• 2007-山东卷理-01 单-三角方程求解