2007-山东卷理-01 单-三角方程求解

本题导读

本题考查复数的乘方运算与三角函数的特殊值。通过复数的三角形式或代数运算转化，结合三角方程的解，考查基础运算与逻辑推导能力。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 若 $z=\cos \theta +\text{i}\sin \theta$（$\text{i}$ 为虚数单位），则 $z^2=-1$ 的 $\theta$ 值可能是()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

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1. 利用复数的乘方运算将 $z^2$ 展开并化简为标准代数形式。

2. 根据 $z^2=-1$ 建立关于 $\theta$ 的三角方程组，求出 $\theta$ 的通解，对照选项即可。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由题意得：$z^2=(\cos \theta +\text{i}\sin \theta {)}^2={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta +2\text{i}\sin \theta \cos \theta =\cos 2\theta +\text{i}\sin 2\theta$． 因为 $z^2=-1$，根据复数相等的充要条件可得： $\{\begin{array}{l}\cos 2\theta =-1\\ \sin 2\theta =0\end{array}$ 解得 $2\theta =\pi +2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$），即 $\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）． 当 $k=0$ 时，$\theta =\frac{\pi }{2}$． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的乘方运算，复数相等的充要条件，简易三角方程的解法。

2. 核心方法：利用二倍角公式展开化简，或直接利用棣莫弗定理 $(\cos \theta +\text{i}\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +\text{i}\sin n\theta$ 求解。

3. 避坑指南：必须注意复数相等的条件是实部与虚部分别对应相等，不可忽略虚部为 0 的限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源自欧拉公式 $e^{\text{i}\theta }=\cos \theta +\text{i}\sin \theta$ 及其推论棣莫弗定理，属于高观点下考查复数基本运算的初等试题。

5. 结论推广：对任意单位复数 $z=\cos \theta +\text{i}\sin \theta$，方程 $z^n=1$ 或 $z^n=-1$ 的根在复平面上均对应单位圆的 $n$ 等分点，其对应幅角由分点位置决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-02 单-复数运算