2026-新高考II卷-03 单-数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积的计算。核心意图在于测试学生对向量模的平方与数量积之间代数关系的理解，熟练运用两数和与两数差的模长平方公式消去未知模长，从而精确求解向量的点积。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）已知向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=1$ ， $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=$()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　C. $-\frac{1}{3}$　　　　　　D. $-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：将已知的两个模长等式 $|\vec{a}+\vec{b}|=1$ 和 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$ 两边分别进行平方运算，将其转化为包含 $|\vec{a}{|}^2$ 、 $|\vec{b}{|}^2$ 和 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的代数方程。
2. 第二步逻辑：将展开后的两个平方方程进行相减操作（或直接套用平行四边形恒等式的变形形式——极化恒等式），利用消元法将未知项 $|\vec{a}{|}^2$ 和 $|\vec{b}{|}^2$ 整体抵消。
3. 第三步逻辑：解出剩下的关于 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的一元一次方程，计算出确切数值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

已知 $|\vec{a}+\vec{b}|=1$，两边平方得： $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=1⟹|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=1$ , ①

已知 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$，两边平方得： $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=(\sqrt{3}{)}^2⟹|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=3$, ②

用方程 ① 减去方程 ②，消去相同的项 $|\vec{a}{|}^2$ 和 $|\vec{b}{|}^2$： $(|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2)-(|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2)=1-3$ $4\vec{a}\cdot \vec{b}=-2$

两边同除以 4，得： $\vec{a}\cdot \vec{b}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$

正确答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量模的平方与自身内积的关系（ $|\vec{a}{|}^2={\vec{a}}^2$ ）；代数方程组的加减消元。
2. 核心方法：极化恒等式法。
3. 避坑指南：

• 减法顺序导致符号写反陷阱：部分学生在进行方程相减时，容易把 $1-3=-2$ 粗心算成 $3-1=2$，或者在消除 $-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的负号时出错，误选 A 选项。务必注意负号在减法中的叠加效应。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是平面向量板块的经典必考题型，其几何背景源于平行四边形的两条对角线长与边长、夹角之间的定量测度关系。
2. 结论推广： 在平面向量和空间向量代数中，存在一个著名的极化恒等式（Polarization identity）。该公式直接建立了向量数量积与和差模长之间的恒等映射： $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{4}\left(|\vec{a}+\vec{b}{|}^2-|\vec{a}-\vec{b}{|}^2\right)$ 在考场上面对该类题型，无需写出平方展开的中间步骤，可直接套用此大招公式： $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{4}\left(1^2-(\sqrt{3}{)}^2\right)=\frac{1}{4}(1-3)=\frac{1}{4}\times (-2)=-\frac{1}{2}$ 利用该结论，此类向量内积问题可实现 2 秒内肉眼秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2022-高考北京卷-10
• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算