2026-新高考II卷-10 多-等比数列

本题导读

本题考查等比数列通项与前 $n$ 项和的综合性质。核心意图在于测试学生利用给定的项递推关系求出唯一确定的公比 $q$，进而将 $q$ 代入前 $n$ 项和公式，通过代数式放缩与数列求和，判定关于 $S_n$ 不等式关系的正确性。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q\ne 1,a_1>0,2a_3=a_1+a_2$ ，记前 $n$ 项和为 $S_n$ ，则()

A. $q=-\frac{1}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $S_n>\frac{2a_1}{3}$

C. $2S_{n+2}=S_{n+1}+S_n$　　　　　　　　　　　D. ${\sum }_{k=1}^n{S}_k>\frac{2n{a}_1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（求解公比 $q$）：由等比数列通项公式，将 $2a_3=a_2+a_1$ 全部化为关于 $a_1$ 和 $q$ 的表达式： $2a_1{q}^2=a_{1}q+a_1$。由于 $a_1>0$，两边约去 $a_1$ 得到关于 $q$ 的一元二次方程，结合 $q\ne 1$ 解出 $q$ 的值，据此判定 A 选项。
2. 第二步逻辑（化简前 $n$ 项和 $S_n$）：将求得的 $q$ 代入等比数列求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，得到关于 $n$ 的精简表达式。
3. 第三步逻辑（逐一判定 B, C, D 选项）：

• 对于B选项：分析 $S_n$ 随着 $n$ 的交替震荡有界性，求出其全局最小值或下界。
• 对于C选项：将 $S_n,S_{n+1},S_{n+2}$ 表达式直接代入等式左右两侧进行检验。
• 对于D选项：对 $S_k$ 进行求和，利用化简后的解析式分析 $\sum S_k$ 与目标放缩项的大小关系。

✅【答案】

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ACD

✍【详细解析】

Abstract

A 选项： 已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足： $2a_3=a_2+a_1$。 根据通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，代入上式得： $2a_1{q}^2=a_{1}q+a_1$ 因为 $a_1>0$，方程两边可以同时除以 $a_1$： $2q^2=q+1⟹2q^2-q-1=0$ 即： $(2q+1)(q-1)=0$ 解得： $q_1=-\frac{1}{2},q_2=1$ 因为 $q\ne 1$，所以 $q$ 只能取： $q=-\frac{1}{2}$ 故 A 选项 正确。

B 选项： 将 $q=-\frac{1}{2}$ 代入等比数列前 $n$ 项和公式中： $S_n=\frac{a_1[1-q^n]}{1-q}=\frac{a_1\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{a_1\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]}{\frac{3}{2}}$

$S_n=\frac{2a_1}{3}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]$, (1)

根据表达式 (1)，由于公比 $-\frac{1}{2}$ 为负数， ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^n$ 随着 $n$ 的取值在正负之间交替：

• 当 $n$ 为奇数时： ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^n<0⟹1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n>1$。 此时 $S_n=\frac{2a_1}{3}\times (\text{大于1的数})>\frac{2a_1}{3}$。
• 当 $n$ 为偶数时： ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^n>0⟹1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n<1$。 此时 $S_n=\frac{2a_1}{3}\times (\text{小于1的数})<\frac{2a_1}{3}$。

当 $n=2$ 时： $S_2=\frac{2a_1}{3}\left[1-\frac{1}{4}\right]=\frac{2a_1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{a_1}{2}$。 因为 $a_1>0$，显然 $\frac{a_1}{2}<\frac{2a_1}{3}$，说明不等式 $S_n>\frac{2a_1}{3}$ 在偶数项时不成立。 故 B 选项 错误。

C 选项： 由等比数列求和性质， $S_{n+2}-S_{n+1}=a_{n+2}$， $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$。 将 $2S_{n+2}=S_{n+1}+S_n$ 进行移项： $2S_{n+2}-S_{n+1}-S_n=0⟹2(S_{n+2}-S_{n+1})+(S_{n+1}-S_n)=0$ $2a_{n+2}+a_{n+1}=0$ 化简： $2a_1{q}^{n+1}+a_1{q}^n=0⟹a_1{q}^n(2q+1)=0$ 将已求得的 $q=-\frac{1}{2}$ 代入上式： $2q+1=2\times \left(-\frac{1}{2}\right)+1=-1+1=0$ 因为 $2q+1=0$ 恒成立，所以等式 $2a_{n+2}+a_{n+1}=0⟹2S_{n+2}=S_{n+1}+S_n$ 恒成立。 故 C 选项 正确。

• D 选项 将表达式 (1) 代入： ${\sum }_{k=1}^n{S}_k={\sum }_{k=1}^n\frac{2a_1}{3}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k\right]=\frac{2a_1}{3}\left[{\sum }_{k=1}^{n}1-{\sum }_{k=1}^n{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k\right]$ $=\frac{2a_1}{3}\left[n-\frac{-\frac{1}{2}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}\right]=\frac{2a_1}{3}\left[n-\frac{-\frac{1}{2}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]}{\frac{3}{2}}\right]$ $=\frac{2a_1}{3}\left[n+\frac{1}{3}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]\right]=\frac{2n{a}_1}{3}+\frac{2a_1}{9}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]$ 因为对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，恒有 ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\le \frac{1}{4}<1$，所以： $1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n>0$ 又因为已知 $a_1>0$，所以末项： $\frac{2a_1}{9}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]>0$ 因此，去掉这个大于 0 的末项后，不等式恒成立： ${\sum }_{k=1}^n{S}_k>\frac{2n{a}_1}{3}$ 故 D 选项 正确。

正确答案：ACD

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项特征根的方程求解；交错震荡有界数列的各项最值放缩。
2. 核心方法：特殊值排除法、大项消元分析法。
3. 避坑指南：

• 单调性想当然陷阱：部分学生在判定 B 选项时，容易受到常规正公比等比数列单调递增或递减的思维定势影响，仅校验了 $n=1$ 满足条件就盲目认为对所有 $n$ 成立。务必注意：当公比 $q<0$ 时，数列的和及通项均呈现交错波动状态，必须对奇偶项分别进行边界校验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是 2026 年全国II卷多选题的第二题，考查数列板块中难度系数较高的负公比震荡模型，对基本功的扎实程度有极高的要求。
2. 结论推广： 对于所有满足消去律递推式 $2a_{n+2}+a_{n+1}=0$ 的经典交错等比数列： 其前 $n$ 项和 $S_n$ 恒围绕其渐进极限值 $S_{\infty }=\frac{2a_1}{3}$ 互为上下震荡。 该序列的奇数项求和恒大于极限值（ $S_{2k-1}>S_{\infty }$），而偶数项求和恒小于极限值（ $S_{2k}<S_{\infty }$）。 记住这一“围绕极限左右交错震荡”的宏观拓扑结构，在考场上可瞬间秒杀 B 选项（直接断定偶数项小于该值），从而实现极大程度的解题时间缩减。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2021-天津卷-19 解-数列综合
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项