2026-新高考II卷-12 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的基本量求解与前 $n$ 项和。核心意图在于测试学生利用已知项的数值确定等差数列的公差，进而准确代入前 $n$ 项和公式完成基本定量计算。

📌【题干】

Question

（2026年新高考II卷）记$S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和. 若 $a_1=-1,a_4=5$ ，则 $S_6=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：利用等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，将已知的 $a_1=-1$ 和 $a_4=5$ 代入，构建关于公差 $d$ 的一元一次方程，解出 $d$ 的值。
2. 第二步逻辑：确定等差数列的基本量 $a_1$ 和 $d$ 后，利用等差数列前 $n$ 项和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$（或 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$），代入相应的参数 $n=6$ 进行计算。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

根据等差数列通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，有： $a_4=a_1+3d$ 将 $a_1=-1,a_4=5$ 代入上式： $5=-1+3d⟹3d=6⟹d=2$

方法一：基本量公式法 用求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，将 $n=6,a_1=-1,d=2$ 代入： $S_6=6\times (-1)+\frac{6\times 5}{2}\times 2$ $S_6=-6+30=24$

方法二：等差中项性质法 根据等差数列的对称性质， $S_6=\frac{6(a_1+a_6)}{2}=3(a_1+a_6)=3(a_3+a_4)$。 由于 $d=2$，可求得 $a_3=a_4-d=5-2=3$。 代入性质公式： $S_6=3\times (3+5)=3\times 8=24$

正确答案：24

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项与前 $n$ 项和公式的代数计算。
2. 核心方法：基本量代类法。
3. 避坑指南：

• 基础加减运算符号陷阱：在求解 $3d=5-(-1)$ 时，部分学生由于粗心容易错算成 $3d=5-1=4$，导致算出分数公差从而使后面全错。对负号的移项变换须保持细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是等差数列板块最基础的传统填空题，考查大纲要求的等差数列基本运算。
2. 结论推广： 对于所有已知 $a_1$ 和 $a_m(m\ge 2)$ 的等差数列，其前 $2m-2$ 项和 $S_{2m-2}$ 具有一个恒定的几何对称快捷公式： $S_{2m-2}=(m-1)(a_1+a_m)$ 本题中 $m=4$，要求 $S_{2\times 4-2}=S_6$。直接带入该推广通式： $S_6=(4-1)\times (-1+5)=3\times 4=12\text{ （注：此处修正点对称对应项）}$ 准确的项数性质： $S_{2n}=n(a_1+a_{2n})=n(a_k+a_{2n+1-k})$。利用 $S_6=3(a_1+a_6)=3(a_3+a_4)=3(a_4-d+a_4)=3(2a_4-d)$，结合 $3d=a_4-a_1⟹d=\frac{a_4-a_1}{3}$。 代入消去 $d$ 可得 $S_6$ 的直接代数表示： $S_6=3\left(2a_4-\frac{a_4-a_1}{3}\right)=5a_4+a_1$ 直接带入本题数据： $S_6=5\times 5+(-1)=25-1=24$ 该公式可作为通用大招，无需先求公差 $d$，实现 1 秒内直接输出最终结果。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和