2007-上海卷文-06 填-向量数量积运算

本题导读

本题考查平面向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 若向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 的夹角为 $60^{\circ }$，$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$，则 $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开分配律：$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$。
2. $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2=1$；$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由数量积公式， $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}{|}^2-|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积运算

核心方法：分配律展开 a·(a-b)=|a|²-a·b

避坑指南：a·a 写回 |a|² 再代入数值；a·b=|a||b|cosθ 一个因子都不能少

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”平面向量的数量积”

结论推广：数量积满足分配律但不满足消去律

方法推广：遇到向量多项式运算，先展开成数量积基本式，再逐一用定义代入

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2010-北京卷文-04 单-向量数量积函数
• 2010-四川卷文-06 单-向量模长中线
• 2010-大纲卷I文-11 单-切线数量积最值