2007-江西卷文-13 填-向量数量积正方形顶点

本题导读

本题考查向量数量积，以及正方形的顶点坐标。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 在平面直角坐标系中，正方形 $OABC$ 的对角线 $OB$ 的两端点分别为 $O(0,0)$，$B(1,1)$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=$　　。

🔍【思路分析】

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1. 由 $OB$ 为对角线且 $O(0,0)$、$B(1,1)$，正方形的另两顶点为 $A(1,0)$、$C(0,1)$（或对调）。
2. $\overrightarrow{AB}=B-A=(0,1)$，$\overrightarrow{AC}=C-A=(-1,1)$。
3. 点积 $=0\times (-1)+1\times 1=1$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

正方形 $OABC$ 以 $OB$ 为对角线，故 $A$、$C$ 是关于 $OB$ 对称的两顶点，不妨取 $A(1,0)$、$C(0,1)$（交换 $A,C$ 不改变所求内积）． 则 $\overrightarrow{AB}=(0,1)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,1)$， 所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0\cdot (-1)+1\cdot 1=1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积正方形顶点

核心方法：正方形以 $OB$ 为对角线，取 $A(1,0),C(0,1)$，向量相减再点积

避坑指南：$A,C$ 位置可交换不影响内积；$\overrightarrow{AB}=B-A$ 是终点减起点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量数量积的坐标运算，向量基础题

结论推广：正方形顶点坐标化后向量相减再点积，最稳妥

方法推广：几何图形向量题优先建系坐标化

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练(Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2007-上海卷文-06 填-向量数量积运算
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2008-北京卷文-11 填-向量数量积定义