2007-上海卷文-12 单-共轭复数求参

本题导读

本题考查实系数方程的共轭复数根。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 已知 $a\in \mathbf{R}$，$b\in \mathbf{R}$，且 $2+a\mathrm{i}$，$b+3\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么 $a$，$b$ 的值分别是 ()

A. $a=-3$，$b=2$　　B. $a=3$，$b=-2$　　C. $a=-3$，$b=-2$　　D. $a=3$，$b=2$

🔍【思路分析】

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1. 实系数一元二次方程若有虚根，则两根为共轭复数。
2. $2+a\mathrm{i}$ 与 $b+3\mathrm{i}$ 共轭：实部相等、虚部互为相反数。
3. 也可用韦达定理检验。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

实系数一元二次方程的非实根成共轭复数对．因为 $2+a\mathrm{i}$ 与 $b+3\mathrm{i}$ 是两个根，所以 $b+3\mathrm{i}=2-a\mathrm{i}.$ 比较实部和虚部，得 $b=2$，$3=-a$，即 $a=-3$．因此选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：共轭复数求参

核心方法：实系数方程虚根成对共轭

避坑指南：实系数一元二次方程只有”虚根”才共轭成对；若两根都是实根则不共轭。b+3i 的共轭是 b-3i，比较实虚部时别把符号搞反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”实系数方程的根”

结论推广：实系数一元二次方程虚根成对：z 与其共轭同时为根

方法推广：见”实系数方程+虚数根”直接写共轭关系，再用复数相等（实虚部分别相等）定参

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

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• 2010-天津卷文-01 单-复数除法
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