2010-天津卷文-01 单-复数除法

本题导读

考查复数除法。$\frac{3+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(3+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{2}=\frac{2+4\mathrm{i}}{2}=1+2\mathrm{i}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） $\mathrm{i}$ 是虚数单位，复数 $\frac{3+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=$()

A. $1+2\mathrm{i}$　　　　　B. $2+4\mathrm{i}$　　　　　C. $-1-2\mathrm{i}$　　　　　D. $2-\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分母实数化：同乘 $1+\mathrm{i}$。
2. 分子 $(3+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})=3+3\mathrm{i}+\mathrm{i}-1=2+4\mathrm{i}$。
3. 分母 $(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})=2$。
4. 结果为 $1+2\mathrm{i}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{3+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(3+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{3+3\mathrm{i}+\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2}{1-{\mathrm{i}}^2}=\frac{2+4\mathrm{i}}{2}=1+2\mathrm{i}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法运算

核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数，分母实数化

避坑指南：$(3+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})$ 展开时 ${\mathrm{i}}^2=-1$，实部是 $3-1=2$ 而非 $4$；分母 $(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})=2$ 不要算成 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法是各地卷第 1、2 题的常驻题型，本质是分母实数化。

结论推广：共轭复数之积 $|z{|}^2=a^2+b^2$ 恒为实数，是除法的理论依据。

方法推广：先观察选项形式再决定算到哪一步，有时算到分子即可排除三项。

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