2007-上海卷文-14 单-分段数列极限

本题导读

本题考查数列的极限。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 中，$a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n^2},& 1⩽n⩽1000,\\ \frac{n^2}{n^2-2n},& n⩾1001,\end{array}$ 则数列 $\{a_n\}$ 的极限值 ()

A. 等于 $0$　　　B. 等于 $1$　　　C. 等于 $0$ 或 $1$　　　D. 不存在

🔍【思路分析】

破题导航

1. 极限只看 $n\to \infty$ 时的行为，前面有限项（哪怕 1000 项）不影响极限。
2. $n⩾1001$ 时 $a_n=\frac{n^2}{n^2-2n}=\frac{1}{1-\frac{2}{n}}$。
3. $\frac{2}{n}\to 0$，故 $a_n\to 1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

前 $1000$ 项只改变数列的有限项，不影响极限．当 $n⩾1001$ 时， $a_n=\frac{n^2}{n^2-2n}=\frac{1}{1-\frac{2}{n}}.$ 因为 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{n}=0$，所以 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\frac{1}{1-0}=1.$ 因此选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段数列极限

核心方法：有限项不影响极限

避坑指南：极限只由 n→∞ 时的表达式决定，前 1000 项再”特殊”也不影响；把 n²/(n²-2n) 化成 1/(1-2/n) 再取极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”数列的极限”

结论推广：改变数列有限多项不改变极限；分式极限同除最高次幂

方法推广：分段数列求极限：先确认极限看哪一段，再化简该段通项

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

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