2007-上海卷文-20 解-对称数列求和

本题导读

本题考查等差数列的通项与前n项和。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 如果有穷数列 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_m$（$m$ 为正整数）满足条件 $a_1=a_m$，$a_2=a_{m-1}$，$\cdots$，$a_m=a_1$，即 $a_i=a_{m-i+1}$（$i=1,2,\cdots ,m$），我们称其为”对称数列”. 例如，数列 $1,2,5,2,1$ 与数列 $8,4,2,2,4,8$ 都是”对称数列”. （1）设 $\{b_n\}$ 是项数为 $7$ 的”对称数列”，其中 $b_1$，$b_2$，$b_3$，$b_4$ 是等差数列，且 $b_1=2$，$b_4=11$. 依次写出 $\{b_n\}$ 的每一项； （2）设 $\{c_n\}$ 是 $49$ 项的”对称数列”，其中 $c_{25}$，$c_{26}$，$\cdots$，$c_{49}$ 是首项为 $1$，公比为 $2$ 的等比数列，求 $\{c_n\}$ 各项的和 $S$； （3）设 $\{d_n\}$ 是 $100$ 项的”对称数列”，其中 $d_{51}$，$d_{52}$，$\cdots$，$d_{100}$ 是首项为 $2$，公差为 $3$ 的等差数列. 求 $\{d_n\}$ 前 $n$ 项的和 $S_n$（$n=1,2,\cdots ,100$）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 先求前 4 项（公差 $d=3$），再按对称复制。
2. (2) 49 项的对称数列以第 25 项为对称中心；前 24 项与后 24 项对应相等，中间项 $c_{25}=1$ 只算一次。
3. (3) 后 50 项已知，由对称性写前 50 项（首项 149、公差 $-3$ 的等差数列），按 $n⩽50$ 与 $n>50$ 分段求和。

✅【答案】

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(1) $2,5,8,11,8,5,2$；(2) $S=2^{26}-3$；(3) $S_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n(301-3n)}{2},& 1⩽n⩽50,\\ 3775+\frac{(n-50)\left[3(n-50)+1\right]}{2},& 51⩽n⩽100.\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $b_1,b_2,b_3,b_4$ 所成等差数列的公差为 $d$．由 $b_1=2$，$b_4=11$，得 $2+3d=11,d=3.$ 所以 $b_1,b_2,b_3,b_4$ 依次为 $2,5,8,11$．由对称性，$b_5=b_3=8$，$b_6=b_2=5$，$b_7=b_1=2$，故数列各项依次为 $2,5,8,11,8,5,2.$ （2）由题意，$c_{25},c_{26},\cdots ,c_{49}$ 为首项 $1$、公比 $2$ 的等比数列，所以 $c_{25+k}=2^k$（$0⩽k⩽24$）．利用对称性，前 $24$ 项分别与后 $24$ 项相等，而中间项 $c_{25}=1$ 只计算一次．因此 $S=2{\sum }_{k=0}^{24}{2}^k-1=2\left(2^{25}-1\right)-1=2^{26}-3.$ （3）由题意，后 $50$ 项 $d_{51},d_{52},\cdots ,d_{100}$ 是首项为 $2$、公差为 $3$ 的等差数列，即 $d_k=2+3(k-51)$（$51⩽k⩽100$）．由对称性，对 $1⩽i⩽50$， $d_i=d_{101-i}=2+3(50-i)=152-3i,$ 因此前 $50$ 项构成首项 $149$、公差 $-3$ 的等差数列．当 $1⩽n⩽50$ 时， $S_n=\frac{n}{2}\left[2\cdot 149+(n-1)(-3)\right]=\frac{n(301-3n)}{2}.$ 先求前 $50$ 项和：$S_{50}=\frac{50}{2}(149+2)=3775$．当 $51⩽n⩽100$ 时，令 $m=n-50$，则后半段取了前 $m$ 项，故 $S_n=3775+\frac{m}{2}\left[2\cdot 2+(m-1)3\right]=3775+\frac{(n-50)\left[3(n-50)+1\right]}{2}.$ 所以 $S_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n(301-3n)}{2},& 1⩽n⩽50,\\ 3775+\frac{(n-50)\left[3(n-50)+1\right]}{2},& 51⩽n⩽100.\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对称数列求和

核心方法：利用对称性把未知段化为已知段

避坑指南：49 项的对称中心是第 25 项，中间项只算一次（2S-1）；100 项是偶数项，前后各 50 项对应相等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”数列求和”与新定义问题

结论推广：对称数列的和=2×半边和±中心项修正

方法推广：新定义数列先按定义把通项写成已知段的函数，再选求和方法（等差等比公式）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2010-北京卷文-16 解-等差等比求和
• 2010-四川卷文-20 解-等差数列错位相减
• 2010-大纲卷I文-17 解-等差等比求和
• 2010-上海卷文-21 解-Sn与an递推等比