2008-北京卷文-19 解-椭圆直线直角最大斜边

本题导读

考查直线与椭圆。$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=8-\frac{3m^2}{2}+\frac{(m-2{)}^2}{2}=11-(m+1{)}^2$，$m=-1$ 时最大，直线 $AB$：$y=x-1$。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 已知 $△ABC$ 的顶点 $A$，$B$ 在椭圆 $x^2+3y^2=4$ 上，$C$ 在直线 $l$：$y=x+2$ 上，且 $AB\parallel l$.

(1)当 $AB$ 边通过坐标原点 $O$ 时，求 $AB$ 的长及 $△ABC$ 的面积；

(2)当 $\angle ABC=90^{\circ }$，且斜边 $AC$ 的长最大时，求 $AB$ 所在直线的方程.

🔍【思路分析】

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1. (1)$AB$ 过 $O$ 且平行 $l$（斜率 $1$）：$AB$：$y=x$，代入椭圆得 $x=\pm 1$，$AB=2\sqrt{2}$。
2. $C$ 在 $y=x+2$ 上，到直线 $y=x$ 的距离恒为 $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，面积与 $C$ 位置无关，$S=2$。
3. (2)设 $AB$：$y=x+m$；$\angle ABC=90^{\circ }$ 即 $BC$ 斜率 $-1$，$C$ 由 $B$ 沿 $(1,-1)$ 方向到 $l$：$s=\frac{m-2}{2}$。
4. $A{B}^2=2\left(4-\frac{3m^2}{4}\right)$，$B{C}^2=\frac{(m-2{)}^2}{2}$，$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=11-(m+1{)}^2$，$m=-1$ 时最大（满足 $m^2<\frac{16}{3}$）。

✅【答案】

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(1)$AB=2\sqrt{2}$，$△ABC$ 的面积为 $2$；(2)$AB$ 所在直线的方程为 $y=x-1$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$AB$ 过原点且 $AB\parallel l$（$l$ 的斜率为 $1$），故直线 $AB$：$y=x$. 代入 $x^2+3y^2=4$：$4x^2=4$，$x=\pm 1$，得 $A(1,1)$、$B(-1,-1)$（或对调）， $AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}.$ 设 $C(t,t+2)$，$C$ 到直线 $y=x$ 的距离 $d=\frac{|t-(t+2)|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},$ 与 $t$ 无关. 所以 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2.$ (2)设直线 $AB$：$y=x+m$（由 $AB\parallel l$）. 代入椭圆：$x^2+3(x+m{)}^2=4$，即 $4x^2+6mx+3m^2-4=0$. 由 $\Delta >0$ 得 $m^2<\frac{16}{3}$. 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=-\frac{3m}{2}$，$x_1{x}_2=\frac{3m^2-4}{4}$， $(x_1-x_2{)}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=\frac{9m^2}{4}-(3m^2-4)=4-\frac{3m^2}{4},$ $A{B}^2=2{\left(x_1-x_2\right)}^2=8-\frac{3m^2}{2}.$ 由 $\angle ABC=90^{\circ }$，$BC\perp AB$，直线 $BC$ 的斜率为 $-1$. 设 $C=B+s(1,-1)$（$s\ne 0$），即 $C\left(x_2+s,y_2-s\right)$，代入 $l$：$y_2-s=x_2+s+2$，得 $s=\frac{y_2-x_2-2}{2}=\frac{m-2}{2}$（$y_2=x_2+m$）. $B{C}^2=2s^2=\frac{(m-2{)}^2}{2}.$ 由勾股定理， $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=8-\frac{3m^2}{2}+\frac{(m-2{)}^2}{2}=8-m^2-2m+2=11-(m+1{)}^2.$ 当 $m=-1$ 时（满足 $m^2<\frac{16}{3}$），$AC$ 取最大值 $\sqrt{11}$. 此时 $AB$ 所在直线的方程为 $y=x-1$，即 $x-y-1=0$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆中平行弦与直角三角形斜边最值

核心方法：$AB$：$y=x+m$，$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=11-(m+1{)}^2$，$m=-1$

避坑指南：$AB\parallel l$ 锁定斜率 $1$；$\angle ABC=90^{\circ }$ 使 $BC$ 斜率 $-1$，$C$ 的位置由 $B$ 沿方向 $(1,-1)$ 平移确定；$A{C}^2$ 化为 $m$ 的二次函数求顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“圆锥曲线 + 直角三角形”是解析几何与平几的综合题，2009 天津文第 22 题、2009 广东文第 19 题同型。

结论推广：垂直 $⟺$ 斜率积 $-1$；弦长 $AB=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$；勾股定理转移最值目标。

方法推广：设平行弦 $y=x+m$ 后一切量都是 $m$ 的函数；$\Delta >0$ 给出 $m$ 的范围，最值点必须落在范围内；求出 $m$ 后回写直线方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆
• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹
• 2009-广东卷文-19 解-椭圆与包围圆
• 2009-山东卷文-22 解-轨迹与椭圆圆综合