2007-四川卷文-02 单-对数指数图象判断

本题导读

本题考查对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 函数 $f(x)=1+{\log }_{2}x$ 与 $g(x)=2^{1-x}$ 在同一直角坐标系下的图象大致是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=1+{\log }_{2}x$：定义域 $x>0$，单调递增，过 $(1,1)$，且 $f\left(\frac{1}{2}\right)=1+{\log }_2\frac{1}{2}=0$，图象过 $\left(\frac{1}{2},0\right)$。
2. $g(x)=2^{1-x}$：单调递减，过 $(1,1)$，且 $g(0)=2$，$g(2)=\frac{1}{2}$。
3. 两图象都过 $(1,1)$，一增一减，在该点相交。
4. 对照四个选项的增减性与特殊点位置，只有 C 相符。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=1+{\log }_{2}x$ 的定义域为 $x>0$，在定义域内单调递增，图象过点 $(1,1)$，且 $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$，即图象过 $\left(\frac{1}{2},0\right)$． $g(x)=2^{1-x}$ 单调递减，图象过点 $(1,1)$，且 $g(0)=2$，$g(2)=\frac{1}{2}$． 两图象都过点 $(1,1)$，一增一减，在该点相交；再由 $f$ 的零点为 $\frac{1}{2}$、$g$ 在 $x=0$ 处取值为 $2$ 等特征对照四个选项，符合的只有 C． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数指数图象判断

核心方法：$f$ 增过 $(1,1)$ 且零点 $\frac{1}{2}$；$g$ 减过 $(1,1)$ 且 $g(0)=2$，一增一减锁定 C

避坑指南：图象判断抓三要素：单调性、定点、特殊值；两曲线都过 $(1,1)$ 但一增一减，交点处切线一条升一条降

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同坐标系双函数图象判断源自全国卷早期题型，四川卷 2007 首考

结论推广：推广到含参数 $a$ 的 $f(x)=a+{\log }_{a}x$ 与 $g(x)=a^{1-x}$ 的图象判断

方法推广：图象判断题抓”定义域、单调性、定点、特殊值”四要素逐一排除

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2009-北京卷文-04 单-对数图象平移
• 2009-山东卷文-06 单-函数图象识别
• 2011-安徽卷文-05 单-对数图象上的点
• 2011-山东卷文-10 单-函数图象识别