2007-四川卷文-04 单-正方体线面位置辨析

本题导读

本题考查正方体中的线面位置关系，以及异面直线所成的角。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 如图，$ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 为正方体，下面结论错误的是 ()

A. $BD\parallel$ 平面 $C{B}_1{D}_1$　　　　B. $A{C}_1\perp BD$

C. $A{C}_1\perp$ 平面 $C{B}_1{D}_1$　　　　D. 异面直线 $AD$ 与 $C{B}_1$ 所成的角为 $60^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 判定错误选项，前三项逐一验证。
2. $BD\parallel B_1{D}_1$，$B_1{D}_1\subset$ 平面 $C{B}_1{D}_1$，$BD$ 不在该平面内，A 成立。
3. 建系：$\overrightarrow{A{C}_1}=(1,1,1)$，$\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$，数量积为 0，B 成立；$(1,1,1)$ 恰为平面 $C{B}_1{D}_1$ 的法向量，C 成立。
4. $\overrightarrow{AD}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{C{B}_1}=(0,-1,1)$，$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$，所成角 $45^{\circ }$，D 错误。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，令 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=(1,1,0)$，$D=(0,1,0)$，$A_1=(0,0,1)$，$B_1=(1,0,1)$，$C_1=(1,1,1)$，$D_1=(0,1,1)$． 平面 $C{B}_1{D}_1$ 的方程为 $x+y+z=2$，而直线 $BD$ 上各点满足 $x+y+z=1$，且 $BD$ 不在平面内，故 $BD\parallel$ 平面 $C{B}_1{D}_1$，A 成立． $\overrightarrow{A{C}_1}=(1,1,1)$，$\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{A{C}_1}\cdot \overrightarrow{BD}=-1+1+0=0$，故 $A{C}_1\perp BD$，B 成立． 向量 $(1,1,1)$ 是平面 $C{B}_1{D}_1$ 的法向量，而 $\overrightarrow{A{C}_1}=(1,1,1)$，故 $A{C}_1\perp$ 平面 $C{B}_1{D}_1$，C 成立． $\overrightarrow{AD}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{C{B}_1}=(0,-1,1)$，$\cos \theta =\frac{|-1|}{1\times \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，故两异面直线所成的角为 $45^{\circ }$，不是 $60^{\circ }$，D 错误． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体线面位置辨析

核心方法：建系：平面 $C{B}_1{D}_1$：$x+y+z=2$；$\overrightarrow{A{C}_1}\cdot \overrightarrow{BD}=0$；$AD$ 与 $C{B}_1$ 成 $45^{\circ }$

避坑指南：正方体中 $A{C}_1\perp$ 平面 $C{B}_1{D}_1$（三垂线型），是常考结论；异面直线所成角取范围 $[0^{\circ },90^{\circ }]$，$AD$ 与 $C{B}_1$ 是 $45^{\circ }$ 不是 $60^{\circ }$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体位置关系辨析承接全国卷立体几何小题传统，与四川理 4 题同源

结论推广：结论 $A{C}_1\perp$ 平面 $C{B}_1{D}_1$ 可推广到任意正方体中的体对角线与面对角线三角形平面

方法推广：多结论选错误题逐项建系验证，坐标法把”证位置关系”变成”算数量积与法向量”

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练(Links)

• 2015-四川卷文-18 解-正方体证明
• 2009-四川卷文-15 填-异面直线所成角
• 2013-安徽卷文-15 填-正方体截面
• 2014-四川卷理-18 解-利用空间向量证明平行与垂直